Fagstoff

Ubestemte og bestemte integraler

Publisert: 23.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Fundamentalsetningen  

Det er en sammenheng mellom ubestemte og bestemte integraler.

Vi ser igjen på funksjonen f gitt ved

fx=14x2-x+4

 

Vi finner det ubestemte integralet til f

fxdx=14x2-x+4dx             =14·13x3-12x2+4x+C             =x312-x22+4x+C

Vi setter grenseverdiene 3 og 7 inn i uttrykket som vist nedenfor

7312-722+4·7-3312-322+4·3=73-3312-72-322+4·7-4·3                                             =31612-402+16                                             =793-123=67322,33

Dette er det samme resultatet som vi fikk da vi regnet ut det bestemte integralet tidligere.

Det kan vises at dette gjelder generelt. Dette er et grunnleggende resultat i matematikken, og vi kan formulere resultatet slik:

Fundamentalsetningen i matematisk analyse

 

La f være en kontinuerlig funksjon på intervallet a,b

 

La                              F'x=fx for alle x i a,b

 

Da er                          abfxdx=Fxab=Fb-Fa

Vi kan altså regne ut arealet, A, av området avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene
x = 3 og x = 7, som vist nedenfor

A=3714x2-x+4dx  =x312-x22+4x37  7312-722+4·7-3312-322+4·3  =73-3312-72-322+4·7-4·3  =31612-402+16  =793-123  =67322,33

Vi skal ikke bevise fundamentalsetningen, men vi kan illustrere den gjennom et eksempel.

Fundamentalsetningen - Eksempel

Eksempel

Bilde av et koordinatsystem Funksjonen f er gitt ved f(x)=3x. 

Vi skal finne arealet avgrenset av grafen til f og
x
-aksen mellom x = 0 og x = 4.

Vi bruker formelen for arealet av en trekant og får

A=g·h2=4·3·42=24

Bruker vi en tilfeldig variabel x som grense i stedet for 4, får vi

A=x·3x2=3x22=32x2

Dette uttrykket er akkurat det samme som den antideriverte til 3x og

A=043x dx=32x204=32·42=24

Oppgaver

Generelt