Fagstoff

Bestemte integraler

Publisert: 23.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Bestemte integraler 

Vi ser på funksjonen f gitt ved

fx=14x2-x+4

Nedenfor har vi tegnet grafen til f i et koordinatsystem.

Bilde av en graf og en tenkeboble   Det blå området er avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x = 3 og x = 7.

Bestemte integraler - Eksempel

Vi kan finne en tilnærmet verdi for arealet hvis vi deler området under grafen inn i rektangler som vist på figuren nedenfor.

I GeoGebra kan du legge inn funksjonen og få frem rektanglene med kommandoen «SumUnder[f, 3, 7, 4]».

Bilde av en graf og en tenkeboble  Vi kaller summen av de fire rektanglene for A4. Vi får da

A4=f3·1+f4·1+f5·1+f6·1A4=3,25+4+5,25+7=19,5

For å få en bedre tilnærming kan vi dele området i stadig flere rektangler. I GeoGebra kan du øke antall rektangler i kommandoen «SumUnder[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>,<Antall rektangler>]».

Ved n = 30 fant vi at arealet av rektanglene var 21,94.

Bilde av en graf  

Vi tenker oss at vi fortsetter å øke antall rektangler «i det uendelige». Bredden til rektanglene, som vi kaller x, vil gå mot null, og summen av arealene til rektanglene vil nærme seg arealet under kurven som grenseverdi.

Matematikere bruker den greske bokstaven Σ (stor sigma) som betegnelse for sum av flere ledd. For ikke å gjøre det unødig komplisert, forenkler vi det formelle matematiske språket og sier at Σ37f(x)·x skal betegne summen av arealene til rektanglene med bredde etter samme mønster som vist ovenfor.

Vi får da at

A=limx0Σ37fx·x

Det er dette uttrykket som defineres som det bestemte integralet av f(x) fra x = 3 til x = 7.

 

Det bestemte integralet fra a til b defineres som

 

abfxdx=limx0Σabfx·x

 

Geometrisk vil det bestemte integralet abfxdx representere arealet som er begrenset av x-aksen, linjene x = a og x = b og grafen til funksjonen f(x).

 

Bilde av en graf  

 

 

Legg merke til skrivemåten for det bestemte integralet og spesielt likheten med skrivemåten for det ubestemte integralet. Vi kommer tilbake til grunnen til dette.

Oppgaver

Generelt