Fagstoff

Finne den antideriverte ved delbrøkoppspalting

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Et tre-tall. Bilde. Vi skal nå se på funksjoner som du ikke uten videre kan antiderivere ved hjelp av de reglene du har lært til nå. Du skal lære tre ulike metoder for å finne den antideriverte til slike funksjoner. Dette er tredje metode.

Antiderivert med delbrøkoppspalting

Delbrøksoppspalting

Vi har tidligere sett hvordan vi kan integrere brøkuttrykk der nevneren enten er en potensfunksjon eller en polynomfunksjon av første grad.

Nå skal vi se hvordan vi kan integrere brøkuttrykk der nevneren er en polynomfunksjon av høyere grad. Metoden forutsetter at vi kan skrive nevneren som et produkt av førstegradsuttrykk.Bilde av en tenkeboble

Vi viser metoden gjennom et eksempel.

Eksempel

Vi skal finne 1x2-4dx.

Vi kan faktorisere nevneren til x-2x+2 og kan da skrive

1x2-4=Ax-2+Bx+2

Det gjelder nå å finne koeffisientene A og B.

Vi trekker sammen høyre side og får

1x2-4=Ax+2x-2x+2+Bx-2x+2x-21x2-4=Ax+2A+Bx-2Bx-2x+20x+1x2-4=A+Bx+2A-2Bx-2x+2

For at uttrykkene skal være like, må tellerne være like.

Telleren i brøken på venstre side har ikke noe x-ledd. Koeffisienten foran 
x-leddet er 0.

Det må bety at A+B=0.

Telleren på venstre side har konstanten 1, dvs. at 2A-2B=1.

Vi har nå to likninger med to ukjente og finner

A+B=0      2A-2B=1    A=-B         2(-B)-2B=1 A=-B         -4B=1A=14           B=-14

Vi setter A og B inn i det opprinnelige integralet og får

1x2-4dx=Ax-2+Bx+2dx               =A1x-2dx+B1x+2dx               =141x-2dx-141x+2dx               =14lnx-2-14lnx+2+C               =14lnx-2x+2+C

 

Metoden forutsetter, som nevnt ovenfor, at nevneren kan faktoriseres i førstegradsuttrykk. Du la kanskje også merke til at en forutsetning for å finne verdier for A og B var at telleren må ha lavere grad enn nevneren.

Oppgaver

Generelt