Fagstoff

Finne den antideriverte ved delvis integrasjon

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Et to-tall. Bilde. Delvis integrasjon bygger på produktregelen for derivasjon.

Antiderivert med delvis integrasjon 

Delvis integrasjon

Denne metoden bygger på produktregelen for derivasjon. 

       u·v'=u'·v+u·v'u·v'dx=u'·v+u·v'dx          u·v=u'·vdx+u·v'dx u'·v dx=u·v-u·v'dx

 

For oversiktens skyld skriver vi u istedet for u(x) og v istedet for v(x).

Regel

 

 

u'·v dx=u·v-u·v'dx

     

 Antiderivert med delvis integrasjon - Eksempel 

Bilde av en tenkeboble Eksempel

Vi skal finne 2x·lnxdx ved bruk av delvis integrasjon

.

La 2x være u' som gir u=x2 og Inx være v som gir 
v'=1x

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

2xu'·lnxvdx=x2u·lnxv-x2u·1v'xdx                =x2·lnx-xdx                =x2lnx-12x2+C

Du bør tenke deg om før du velger hva du skal sette som u´ og v. Det kan ofte være både lurt og nødvendig å bytte rekkefølgen på uttrykkene i integranden.

Det gjelder å få et enklere uttrykk under integrasjonstegnet på høyre side. Virkemiddelet vi har, er at en av faktorene blir derivert i det nye integralet. Vi må altså finne ut hvilken av faktorene som derivert gir et enklere integrasjonsuttrykk.

Ovenfor så vi for eksempel at det var lurt å velge Inx som den faktoren som skal deriveres fordi lnx'=1x.

Det er nødvendig at du regner mange oppgaver slik at du etter hvert ser hvilke uttrykk som lar seg integrere med delvis integrasjon.

Oppgaver

Generelt