Fagstoff

Finne den antideriverte ved integrasjon med variabelskifte

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Et ett-tall. Bilde. Vi skal nå se på funksjoner som du ikke uten videre kan antiderivere ved hjelp av de reglene du har lært til nå. Du skal lære tre ulike metoder for å finne den antideriverte til slike funksjoner. Først Integrasjon med variabelskifte.

Antiderivert med variabelskifte

Integrasjon ved variabelskifte

Når vi integrerer med variabelskifte, bruker vi kjerneregelen «baklengs».
For å kunne bruke metoden benytter vi en ny skrivemåte for den deriverte.


Bilde av en graf

 

 

 

 

 

 

Vi har tidligere definert den deriverte til en funksjon y(x) i et punkt A som stigningstallet til tangenten til grafen i punktet.

y'=limx0yx

Vi kaller nå x for differensialet dx og definerer differensialet av funksjonen som dy=y'·dx.

Vi får da at y'=dydx. Hvis funksjonen har navnet u, så er u'=dudx og du=u'dx.

Vi oppfatter altså du og dx som små størrelser som vi kan regne med. Hvis u'=2, setter vi dudx=2.

Vi kan da for eksempel løse denne likningen med hensyn på dx og få at dx=du2.

Integrasjon ved variabelskifte kan brukes der hvor integranden kan skrives som et produkt av to uttrykk der det ene uttrykket inneholder «en kjerne u», og det andre uttrykket er den deriverte til denne kjernen.

Antiderivert med variabelskifte - Eksempel 1

Eksempel 1

2x·sinx2+1dx

Integranden er et produkt av to uttrykk, 2x og x2+1. Vi setter kjernen u=x2+1. Da er 2x lik den deriverte til kjernen.

Her må vi ha litt «teft» og se at den deriverte til x2+1 er 2x.

Bilde av en tenkeboble Vi deriverer kjernen og får

u=x2+1u'=dudx=2xdx=du2x

Vi erstatter vi x2+1 med u og dx med du2x og får

2x·sinx2+1dx=2x·sinudu2x=sinudu=-cosu+C=-cosx2+1+C

Det at den deriverte av x2+1 er 2x, gjør at variabelen x «forsvinner» i integranden slik at

integranden kun inneholder variabelen u. Dette er selve «hemmeligheten» med metoden.

Metoden kan beskrives slik

Integrasjon med variabelskifte

 

fu·u'dx=fudu,  der  du=u'dx

 

Antiderivert med variabelskifte - Eksempel 2 

 Eksempel 2

3x+6x2+4x+5dx

Vi setter u=x2+4x+5 og finner

dudx=2x+4dx=du2x+4

Vi får

3x+6x2+4x+5dx=322x+4x2+4x+5dx=322x+4x2+4+5dx=322x+4u·du2x+4=321udu

Her er ikke den deriverte til kjernen nøyaktig lik 3x+6, men den er av samme grad, og ved å sette faktoren 32 utenfor integralet blir telleren lik den deriverte til kjernen slik at variabelen x «forsvinner» i integranden.

Du skjønner sikkert at det er en klar fordel å ha gode ferdigheter i derivasjon for å se om metoden kan brukes.

Vi antideriverer og finner

321udu=32u-12du=32·1-12+·u-12+1+C=32·2·u+C=3x2+4x+5+C

Eksempel 3

Vi kan bruke variabelskifte sammen med regelen om at 1xdx=lnx   x0 til å finne integralet 1ax+bdx der a og b er konstante tall.

Vi setter u=ax+b. Da er dudx=a, og vi får dx=dua.

Det gir

1ax+bdx=1aaax+bdx=1aaudua=1a1udu=1alnu+C=1alnax+b+C

 

Integrasjonsregel

 

1ax+bdx=1alnax+b+C     x0   a0

 

 

Oppgaver

Generelt