Fagstoff

Den antideriverte til de trigonometriske funksjonene

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Antideriverte av trigonometriske funksjoner 

Fra Derivasjon av trigonometriske funksjoner kjenner du derivasjonsreglene

sinx'=cosxcosx'=-sinxtanx'=1cos2x=1+tan2x

Hvis vi antideriverer cosx, får vi sinx + C.

Hvis vi antideriverer -sinx, får vi cosx+C. Det betyr at den antideriverte til sinx blir -cosx+C.

 

Ved å derivere de trigonometriske funksjonene finner vi altså følgende regler for integrasjon:

 

sinx dx=-cosx+Ccosx dx=sinx+C1cos2xdx=tanx+C  evt.  1+tan2xdx=tanx+C

 

Eksempel

Når vi deriverer uttrykket sin2x, bruker vi kjerneregelen og får sinu'·u'=2cos2x. 
Vi ser av svaret at vi har fått faktoren 2 i tillegg til det opprinnelige uttrykket. Når vi antideriverer, må vi multiplisere uttrykket med faktoren 12 for å få det opprinnelige uttrykket.

2cos2xdx=2cos2x dx=12·2·sin2x+C=sin2x+C

 

Vi får da følgende integrasjonsregler for trigonometriske funksjoner der vinkelen er et lineært uttrykk:

 

sinkx+cdx=-1kcoskx+c+Ccoskx+cdx=1ksinkx+c+C1cos2kxdx=1ktankx+X   evt.   1+tan2kxdx=1ktankx+C

 

Oppgaver

Generelt