Fagstoff

Regneregler for integrasjon

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut
Regneregler for integrasjon  

Å kunne integrere funksjoner er like viktig som å kunne derivere funksjoner. Det finnes integrasjonsregler tilsvarende derivasjonsreglene. Her følger integrasjonsreglene du må kunne.

Integrasjon av en konstant k

 

k dx=kx+C

 

Integrasjon av potensfunksjoner

 

xrdx=1r+1xr+1+C    r-1

 

Når r=-1, gjelder

 

x-1dx=1xdx=Inx+C  x>0

 

Integrasjon av eksponentialfunksjoner

 

exdx=ex+Cekxdx=1kekx+Caxdx=1Inaax+C    a>0

 

 

Generelle regler

 

fx+gxdx=fxdx+gxdxfx-gxdx=fxdx-gxdxk·fxdx=k·fxdx    k er en konstant

 

Du la sikkert merke til at integrasjonsregelen 1xdx=Inx+C bare gjelder for positive x-verdier. Det kommer av at funksjonen Inx bare er definert for positive verdier av x.

I R1-kapitlet om funksjoner beviste vi at Inx'=1x for positive x-verdier.

Vi repeterer beviset her.

Bevis

Fra definisjonen av den naturlige logaritmen har vi at ethvert positivt tall, x, kan skrives som e opphøyd i logaritmen til x

Når to funksjoner er like, er den deriverte av hver av funksjonene også like.

Vi deriverer venstre og høyre side hver for seg.

Venstre side: x'=1

Høyre side: 

eInx'=eu'·u'=eu·u'=eInx·Inx'=x·Inx'

Da har vi
       

x·Inx'=1      Inx'=1x

Men hva hvis x,0?

Bilde av en graf og en tenkeboble Funksjonen Inx er definert for alle verdier av x  forskjellig fra null, siden absoluttverdien av et negativt tall er lik det motsatte tallet som er positivt. Absoluttverdien av -2,-2, er for eksempel lik 2.

Til høyre ser du grafen til funksjonen f gitt ved f(x)=Inx.

Vi har tegnet tangenter til grafen for x=2 og for x=-2.

Stigningstallet til tangenten i et punkt er lik den deriverte i punktet.

Bilde av tenkeboble Stigningstallet til tangenten når x=-2, er lik -0,5=1-2. Det betyr at f'(-2)=In-2'=1-2.

Stigningstallet til tangenten når x=2, er lik 0,5=12. Det betyr at f'2=12.

Det kan vises at det alltid gjelder at Inx'=1x.

Definisjonen av et ubestemt integral gir da at 1xdx=Inx+C for alle verdier av x forskjellig fra null.

Integrasjonsregel

 

1xdx=Inx+C   x0

 

 

Oppgaver

Generelt