Fagstoff

Forventningsverdi

Publisert: 05.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

I 1T satte vi opp sannsynlighetsmodellen for «Kast med én terning».

Terning. Foto.   

Antall øyne123456
Sannsynlighet161616161616

 

Vi innfører nå den stokastiske variabelen X som antall øyne ved kast av en terning.

Nedenfor har vi satt opp sannsynlighetsfordelingen til den stokastiske variabelen X.Terning. Foto.    

x
123456
P(X = x)161616161616

 

De store talls lov sier at hvis vi kaster en terning mange nok ganger, vil vi få like mange enere, toere, treere, firere, femmere og seksere.

Gjennomsnittet blir

1+2+3+4+5+66=3,5

Dette tallet kaller vi for det forventete resultatet ved kast av en terning selv om det ikke er mulig å få akkurat den forventede verdien.

Hvis vi multipliserer hvert utfall med sannsynligheten for å få akkurat dette utfallet og til slutt summerer de svarene vi får, finner vi forventningsverdien til den stokastiske variabelen X.

Forventningsverdien når vi kaster en terning blir da

1·PX=1+2·PX=2+3·PX=3+4·PX=4+5·PX=+6·PX=6=1·16+2·16+3·16+4·16+5·16+6·16=1+2+3+4+5+66=216=72=3,5

På denne måten finner vi det forventete antall øyne ved kast med en terning. Det tilsvarer gjennomsnittet av antall øyne hvis vi kaster mange nok ganger.

Vi bruker to skrivemåter for forventningsverdi, den greske bokstaven μ («my») og stor bokstav E (fra engelsk «expectation»). Skrivemåten E(X) betyr forventningsverdien til den stokastiske variabelen X.

 

Forventningsverdi

 

La X være en stokastisk variabel og x1 , x2 ,..., xn de verdiene X kan ha.

 

Da defineres forventningsverdien  til X, som

 

μ=Ex=x1·PX=x1+x2·PX=x2+...+xn·PX=xn=i=1nxi·PX=xi

 

Legg merke til hvordan vi bruker den greske bokstaven Σ («sigma») for å skrive summen av flere ledd på en enklere måte.

 

For forsøket «Kast av én terning» kan vi da sette opp denne tabellen: Terning. Foto.   

x123456Sum
P(X = x)1616161616161
x·P(X = x)1626=1336=1246=23561μ = 3,50

 

Regneark egner seg også godt for å finne forventningsverdi. Her har vi laget den samme tabellen i GeoGebra.

Tabell Geogebra. Illustrasjon.   

Flervalgsprøve. Foto.  Nedenfor har vi regnet ut forventningsverdien for matematikkprøven med fire oppgaver, hver med fire svaralternativer, som vi så på tidligere.

Her er utregningene gjort i regnearket Excel.

k01234Sum
P(X = k)0,3160,4220,2110,0470,004 
k · P(X = k)00,4220,4220,1410,016μ = 1,00

 

Tenkeboble, hva betyr det. Illustrasjon.  Forventningsverdien for antall riktige svar ved ren gjetning er μ = 1,00. Dette betyr at hvis veldig mange elever avlegger en slik prøve ved tilfeldig avkrysning, er det i gjennomsnitt ett riktig svar per besvarelse.