Fagstoff

Ubestemte integraler

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Ubestemt integral 

Fra grunnskolen kjenner du til regningsartene addisjon/subtraksjon og multiplikasjon/divisjon. Disse regningsartene opptrer i par slik at subtraksjon er den «motsatte» regningsarten til addisjon, og divisjon er den «motsatte» regningsarten til multiplikasjon. Også derivasjon har en slik «motsatt» regningsart.

For eksempel vet du at funksjonen Fx=x2 har funksjonen fx=2x som derivert. Funksjonen f er den deriverte til F. Den «motsatte» operasjonen går ut på å finne en funksjon som har 2x som derivert. Du ser at funksjonen Fx=x2 er en slik funksjon.

Det er naturlig å kalle funksjonen F for en antiderivert til f. Men av historiske grunner er det mer vanlig å si at F er et ubestemt integral til f. Vi sier at vi integrerer eller antideriverer når vi skal finne F.

Som symbol for et ubestemt integral, eller antiderivert, til f brukes fxdx og leses «det ubestemte integralet til f(x)». Symbolet  (lang S) kalles for et integraltegn, og funksjonen f(x) som skal integreres, kalles for integranden. Symbolet dx tas med blant annet for å vise at de funksjoner F(x) vi kommer fram til, er funksjoner av variabelen x. Det er x som er integrasjonsvariabelen. Du skal også se at dette er en praktisk skrivemåte i forbindelse med integrasjonsmetoder.

Vi så at funksjonen F(x)=x2 er en antiderivert til f(x)=2x. Men den deriverte til x2+3 er også lik 2x. Derfor er også x2+3 en antiderivert til 2x. Faktisk er enhver funksjon x2 pluss en hvilken som helst konstant tall C en antiderivert til 2x fordi x2+C´=2x. Vi sier at x2+C er det ubestemte integralet til 2x fordi x2+C ikke er én bestemt funksjon, men en hel klasse av funksjoner. Konstanten C kalles integrasjonskonstanten.

 

Definisjon av ubestemt integral

 

f(x)dx=Fx+C  hvis  F'x=fx


Det ubestemte integralet av f(x) er lik F(x) pluss en konstant C. Symbolet  (lang S) kalles et integraltegn. Funksjonen f(x) kalles integranden. Konstanten C kalles integrasjonskonstanten.

 

Vi sier at vi integrerer eller antideriverer f(x) når vi finner F(x). 
Symbolet dx viser at det er x som er integrasjonsvariabelen.

 

Eksempel

x2+3x+4dx=13x3+32x2+4x+C

fordi

13x3+32x2+4x+C'=13·3x2+32·2x+4+0=x2+3x+4

Oppgaver

Generelt