Fagstoff

Binomisk sannsynlighetsfordeling

Publisert: 05.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

I S1 lærte du om binomiske sannsynlighetsmodeller. Vi starter med litt repetisjon. Gå til S1 for en mer grundig repetisjon.

Multiple choice prøve. Foto.  En matematikkprøve består av fire oppgaver. For hver oppgave er det fire svaralternativer, og oppgaven skal besvares ved å krysse av for riktig svaralternativ.

Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med uavhengighet. Det vil si at hva du svarer på en oppgave, ikke påvirker svaret ditt på den neste.

Du krysser av helt tilfeldig. Sannsynligheten for å svare riktig på hver enkelt oppgave er lik 0,25, og sannsynligheten for å svare galt er 0,75. Vi ønsker å finne sannsynligheten for å få ett riktig svar, to riktige svar, tre riktige osv.

Matematikkprøven som er beskrevet ovenfor, er et eksempel på et forsøk som gir en binomisk sannsynlighetsmodell.

I en binomisk forsøksrekke har vi n uavhengige delforsøk.
Eksempel: Svare på fire oppgaver, n = 4

  • Alle delforsøkene har to mulige utfall, A eller A¯ (ikke A).
    (Vi kaller gjerne det ene utfallet «suksess» og det andre «fiasko».)
    Eksempel: Riktig eller galt svar på en oppgave

  • Sannsynligheten for A er den samme hele tiden. Vi setter P(A) = p.
    Da er PA¯=1-p.
    Eksempel: P(Riktig svar) = 0,25 og P(Galt svar) = 1 − 0,25 = 0,75

  • De enkelte delforsøkene er uavhengige.

Vi lar X være antall ganger A inntreffer.
Sannsynligheten for at A skal inntreffe k ganger er da gitt ved formelen

PX=k=nk·pk·1-pn-k  hvor  nk=n!k!n-k!

nk kalles for binomialkoeffisienten.

I eksempelet ovenfor er

PEtt riktig svar=PX=1=41·0,251·0,753=4·3·2·11·3·2·1·14·343=27640,422ogPTo riktige svar=PX=2=42·0,252·0,752=4!2!·2!·142·342=4·3·2·12·1·2·1·116·916=271280,211

Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen for den stokastiske variabelen X.

k01234
P(X = k)0,3160,4220,2110,0470,004

 

Du kan bruke GeoGebra sin «Sannsynlighetskalkulator» for å finne binomiske sannsynligheter. Du må da velge «Fordeling» som «Binomisk fordeling», og sette inn de aktuelle verdier for n og p. På siste linje velger du hvilken sannsynlighet du vil beregne.

GeoGebra sannsynlighetskalkulator. Illustrasjon.