Fagstoff

Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx til en ren sinusfunksjon

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Omforme trigonometriske uttrykk av typen asinkx bcoskx 

 

Bilde av en tenkeboble  

Bilde av en tenkeboble  

Nedenfor har vi tegnet de to grafene. Vi ser at grafene er like. Hva betyr det?

Bilde av to grafer  Kan det bety at fx=gx? Hvordan kan vi undersøke om fx=gx?

gx=2sinx+π4

Fra 3.2 har vi at sinu+v=sinu·cosv+cosu·sinv.

Vi bruker dette og får

2sinx+π4=2sinx·cosπ4+cosx·sinπ4=212sinx+12cosx=sinx+cosx

Sinusomforming

Vi skal vise at et uttrykk på formen asinkx+bcoskx kan omformes til den rene sinusfunksjonen Asinkx+φ.

Setningen om sinus til summen av to vinkler gir

Asinkx+φ=Asinkx·cosφ+coskx·sinφ                =Acosφa·sinkx+Asinφb·coskx                =asinkx+bcoskx

Når vi altså setter Acosφ=a, og Asinφ=b, får vi at

a2+b2=Acosφ2+(Asinφ)2=A2(cos2φ+sin2φ)=A2·1=A

og

tanφ=sinφcosφ=bAaA=ba.

Ut fra koeffisientene a og basinkx+bcoskx kan vi altså finne A og φ. Dermed kan vi sette opp den rene sinusfunksjonen

asinkx+bcoskx=Asinkx+φ

Du må huske på at det fins to vinkler i første omløp som gir samme tangensverdi. Du må derfor passe på å velge den vinkelen som ligger i samme kvadrant som (a,b)=A(cosφ,sinφ).

Generelt

 

asinkx+bcoskx=Asinkx+φ

 

Her er

 

A=a2+b2 ogtanφ=ba  når  cosφ0.

 

NB!

Vi må passe på at vinkelen φ ligger i samme kvadrant som punktet (a, b).