Fagstoff

Arealet under grafer

Publisert: 03.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Samlet lønn

Erlend er ferdig med sin utdannelse og skal ut i jobb. Han får tilbud om 270 000 kroner i lønn det første året. Deretter skal lønnen økes med 7 % per år.
Hva vil den samlede lønnen til Erlend være de neste 10 årene hvis han godtar dette tilbudet?

Lønnen til Erlend etter x år vil i tusen kroner være gitt ved

Lx=270·1,07x

Det første året, år null, blir samlet lønn 270 000 kroner. I år 1, altså det andre året, er samlet lønn 270 000 kroner multiplisert med vekstfaktoren 1,07.

Slik fortsetter det, og samlet lønn for de neste 10 år i tusen kroner vil være

270+270·1,07+270·1,072+270·1,073+270·1,074+270·1,075+270·1,076+270·1,077+270·1,078+270·1,079

Dette kan også skrives som

L0+L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8+L9

Vi multipliserer hvert ledd med tallet 1 og får samlet lønn over 10 år som

 L0·1+L1·1+L2·1+L3·1+L4·1+L5·1+L6·1+L7·1+L8·1+L9·1

Graf, areal under grafer I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til L.
Under grafen har vi tegnet 10 rektangler. Ser du at høyden på rektanglet lengst til venstre er L(0), og at bredden er lik 1?
Det betyr at arealet til dette rektanglet representerer lønnen det første året, i år null. Tilsvarende representerer arealene til de neste rektanglene lønnen de neste årene, og samlet areal til de 10 rektanglene representerer samlet lønn de 10 årene.

I GeoGebra kan vi finne dette arealet ved kommandoen SumUnder[L,0,10,10]. I parentesen viser L at det er sum av arealer under grafen til L som skal beregnes, og det skal gjøres fra
x = 0 til x = 10. Tallet 10 til slutt viser at det er 10 rektangler.
Samlet areal er gitt med tallet a = 3730. Det betyr at samlet lønn over 10 år er 3 730 000 kroner.

Graf, areal under grafer Erlend får utbetalt lønn hver måned. Det kan for eksempel bety at månedslønnen i et år er konstant lik årslønnen delt på 12.

Erlend inngår en avtale om at årslønnen skal justeres hvert halvår i henhold til funksjonen . Det betyr at månedslønnen blir høyere siste halvår enn 1. halvår.

Nå blir samlet lønn over 10 år summen av arealene til 20 rektangler som vist på figuren. I GeoGebra må det siste tallet i parentesen for kommandoen SumUnder endres fra 10 til 20.

Tallet  a = 3795 viser at samlet lønn over 10 år nå blir 3 795 000 kroner, en samlet økning over 10 år på 65 000 kroner.

Vi kan fortsette, og la årslønnen justeres hver måned i henhold til funksjonen L. Da tilsvarer samlet lønn arealene til 120 rektangler. Samlet lønn blir nå 3 849 000 kroner.

Vi ser at nå nærmer summen av arealene til rektanglene seg til å bli lik samlet areal under grafen fra x = 0 til x = 10.

Dette samlede arealet kan vi i GeoGebra finne med kommandoen Integral[L,0,10]. Det kalles for det bestemte integralet til funksjonen L fra x = 0 til x = 10.

Graf, areal under grafer  

Samlet areal under grafen tilsvarer en samlet lønn på 3 860 000 kroner i tiårsperioden. Vi ser at dette gir en god tilnærmet verdi for samlet lønn i perioden. Den eksakte samlede lønnen avhenger av hvordan lønnen i praksis justeres.

Hvis årslønnen blir justert kontinuerlig, det vil at den til enhver tid følger funksjonen L , gir det bestemte integralet den mest riktige verdien for samlet lønn i perioden.

Samlet strømforbruk

Hjemme hos Lena er det en strømmåler som på ethvert tidspunkt viser strømforbruket. Lena ville finne ut hva det samlede strømforbruket var gjennom et døgn, og hun ønsket også en oversikt over hvordan strømforbruket fordelte seg gjennom døgnet.

Graf, strømforbruk Lena noterte ned strømforbruket i kilowatt hver hele time fra midnatt til neste midnatt. Ved regresjon i GeoGebra fant Lena en funksjon f som modell for strømforbruket gjennom døgnet

fx=-0,002x3+0,06x2-0,502x+2,3

Arealet under grafen til f fra x = 0 til x = 24 viser samlet strømforbruk i wattimer (Wh) for hele døgnet.

Lena fant dette samlede strømforbruket som det bestemte integralet til f fra x = 0 til x = 24

Integral[f,0,24]=49 461

Det betyr at samlet strømforbruk var 49,5 kWh (kilowattimer).

Noen andre eksempler

Når vi for eksempel har modeller for oljeutvinning, utslipp av klimagasser, produksjon av en bestemt vare i en bedrift og salg av en bestemt vare fra en butikk over et gitt tidsrom, så vil arealet under grafene til funksjonene vise samlet oljeutvinning, samlet utslipp, samlet produksjon og samlet salg i tidsperioden.