Fagstoff

Eksponentialfunksjon som modell

Publisert: 03.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Vi kan bruke matematiske funksjoner til å vise sammenhengen mellom to størrelser. En bedrift kan for eksempel lage en kostnadsfunksjon som viser sammenhengen mellom antall produserte enheter og kostnaden ved å produsere dette antall enheter.

En slik funksjon kalles en modell. Å lage slike funksjoner kalles å modellere.

Regresjon er en metode for å lage matematiske modeller.

Eksponentialfunksjon som modell

Kalking av surt vann. Foto.Kalking av surt vann.Antall ørret i et vann har økt kraftig etter at det i 1998 ble satt i gang med kalking av vannet. Tabellen viser antall ørret i vannet noen år etter 1998.

Årstall1998200020022004
Antall år etter 1998, x
0246
Antall ørret i tusen, N
4,06,710,917,4

 

Vi vil finne ein modell for utviklinga av aurebestanden. Vi bruker regresjon i GeoGebra.

Vi legg dataa frå tabellen inn i reknearket i GeoGebra. Vi merkar cellene, klikkar på «Regresjonsanalyse» og vel «Analyser».

Punkta viser at vi må finne ein funksjon som veks raskare og raskare etter som x -verdiane aukar. Vi ser at ein eksponentiell modell passar godt med dei observerte verdiar.

Ved å velje «Eksponentiell 2» som regresjonsmodell får vi talet «e» som grunntal i potensen.

Eksponentialfunksjon regresjon i GeoGebra. Bilde.  

Vi får funksjonen N gitt ved

Nx=4,5e0,24x

som modell for utviklingen av ørretbestanden.

Eksponentialfunksjon som modell, graf. Bilde.  

Av grafen kan vi se at ut fra denne modellen vil ørretbestanden ha passert 46 000 individer i 2008 og 76 000 individer i 2010.

Registreringen av ørretbestanden fortsatte også hvert andre år etter 2004. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

Årstall1998200020022004200620082010
Antall år etter 1998, x
024681012
Antall ørret i tusen, N
4,06,710,917,421,524,526,0

 

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til N sammen med de registrerte verdiene i 2008, 2010 og 2012 (merket av som grønne punkter).

Graf, ørret  

Det viser seg altså at modellen ikke var egnet til å si noe om utviklingen i perioden etter 2004.

Eksponentialfunksjoner passer ofte godt for å beskrive hvordan populasjoner endrer seg i et begrenset tidsrom mens det er rik tilgang på mat og lite eller ingenting som begrenser veksten.

Etter hvert blir utviklingen annerledes. Når populasjonen blir stor nok, bremses veksten fordi det for eksempel blir for lite mat.

Oppgaver

Aktuelt stoff for