Fagstoff

Drøfting av eksponentialfunksjoner

Publisert: 20.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Eksempel

Som eksempel skal vi drøfte funksjonen f gitt ved fx=5x·e-x2.

Definisjonsmengde

Tenkeboble, legg merke til at alle Eksponentialfunksjoner er definert for alle verdier av x og Df=.

Nullpunkter

For å finne eventuelle nullpunkter løser vi likningen fx=0

     fx=05x·e-x2=0        x=0        e-x20,

f har nullpunktet (0,0).

Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter

For å undersøke monotoniegenskaper og finne eventuelle topp- og bunnpunkter ser vi på fortegnet til f'x.

Når vi skal derivere fx må vi bruke produktregelen og kjerneregelen: Tenkeboble, den deriverte av  

fx=5x·e-x2f'x=5·e-x2+5x·e-x2·-12f'x=5·e-x2·1-x2

             f'x=05·e-x2·1-x2=0            1-x2=0                x2=1                 x=2

Vi tegner så fortegnslinjen for f'x.

Fortegnslinje eksponentialfunksjon  

Av fortegnslinjen til f'x kan vi lese at grafen til f stiger i intervallet ,2 og synker i intervallet 2,.

Tenkeboble, legg merke til at alle funksjoner Vi ser også at grafen til f har et toppunkt når x = 2.

f2=5·e-22=10·e-1=10e

Toppunktet har koordinatene 2,10e.

Krumningsforhold og vendepunkter

For å undersøke krumningsforhold og finne eventuelle vendepunkter ser vi på fortegnet til f''x.

f'x=5·e-x2·1-x2f''x=5·e-x2'·1-x2+5·e-x2·1-x2'f''x=5·e-x2·-12·1-x2+5·e-x2·-12f''x=-125·e-x2·1-x2+1f''x=-52·e-x2·2-x2

                 f''x=0-52·e-x2·2-x2=0                2-x2=0                      x=4

Vi tegner så fortegnslinjen for f''x.

Fortegnslinje dobbeltderivert  

Tenkeboble, legg merke til at alle funksjoner 2 Av fortegnslinjen til f''x kan vi lese at grafen til f vender sin hule side ned i intervallet ,4 og vender sin hule side opp i intervallet 4,.
Vi ser også at grafen til f har et vendepunkt når x = 4.

f4=5·4·e-42=20·e-2=20e2

Vendepunktet har koordinatene 4,20e2.

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å lage en skisse av grafen for hånd. (Her har vi tegnet grafen i GeoGebra.)

Graf eksponentialfunksjon  

Oppgaver

Generelt