Fagstoff

Ekstremalpunkter og stasjonære punkter

EkstremalpunkterTenkeboble, viktige begreper

Toppunkter og bunnpunkter kaller vi ofte ekstremalpunkter. Andrekoordinaten til et toppunkt er en maksimalverdi til funksjonen og andrekoordinaten til et bunnpunkt er en minimalverdi.

Noen funksjoner kan ha flere topp- eller bunnpunkter. Derfor er maksimal- og minimalverdiene ofte bare lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet.

Eksempel 3

Finn ved regning når funksjonen f gitt ved fx=13x3-2x2+4x-53 vokser, og når den avtar. Finn også eventuelle ekstremalpunkter.

Løsning

Vi deriverer fx

fx=13x3-2x2+4x-53f'x=x2-4x+4

Vi setter så f'x=0

      f'x=0x2-4x+4=0           x=--4±-42-4·1·42·1           x=4±02           x=2

Vi får bare én løsning.

Vi tar stikkprøver i hvert av de to intervallene 2og2

f'0=02-4·0+4=4>0f'3=32-4·3+4=9-12+4=1>0

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f'x

Terassepunkt fortegnslinje  

Denne fortegnslinjen er spesiell siden den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet. Den deriverte er positiv for x2. Det betyr at funksjonen vokser overalt bortsett fra når x=2. Grafen har verken topp- eller bunnpunkt for x=2. Men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for x=2. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.Tenkeboble, hva er et terassepunkt  

Terassepunkt graf  

 

Stasjonære punkter

Tenkeboble, stasjonære punkt Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. I slike punkter er det ingen endring i veksten til funksjonen. Hvis den deriverte skifter fortegn, er det stasjonære punktet et ekstremalpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn, er det stasjonære punktet et terrassepunkt.

Oppgaver

Generelt