Fagstoff

Ekstremalpunkter og stasjonære punkter

Ekstremalpunkter

Maksimalpunkter og minimalpunkter kaller vi ekstremalpunkter. Andrekoordinaten til et toppunkt er en maksimalverdi eller maksimumsverdi til funksjonen og andrekoordinaten til et bunnpunkt er en minimalverdi eller minimumsverdi. Noen funksjoner kan ha flere topp- eller bunnpunkter. Derfor er maksimal- og minimalverdiene ofte bare lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet.

Terassepunkt

Vi skal ved regning finne når funksjonen f gitt ved fx=x3 vokser, og når den avtar.Videre skal vi finne  eventuelle ekstremalpunkter.

Løsning

Vi deriverer fx

f'x=3x2

Vi setter så f'x=0

f'x=0  3x2=0    x=0

Vi får bare én løsning.

Vi tar stikkprøver i hvert av de to intervallene ,0> og <0,

f'(-1)=3·-12=3>0f'1=3·12=3>0

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f'x

Tegning av fortegnslinjen til den deriverte. Bilde.  

Denne fortegnslinjen er spesiell siden den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet.
Grafen har verken topp- eller bunnpunkt for x=0Men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for x=0. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.

Koordinatsystem med graf som har terassepunkt. Bilde.   

Stasjonære punkter

Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. Hvis den deriverte skifter fortegn, er det stasjonære punktet et topp-eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn, er det stasjonære punktet et terrassepunkt.

Oppgaver

Generelt