Fagstoff

Den deriverte til eksponentialfunksjonen

Publisert: 19.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

  

Leonhard Euler. Bilde.Leonhard Euler (1707 - 1783) var den første som brukte notasjonen e for tallet som er tilnærmet lik 2,71828. Noen mener at e står for «eksponentiell», mens andre mener at Euler brukte e siden det er den andre vokalen i alfabetet, og siden han allerede brukte a i noen av sine andre matematiske arbeider.En eksponentialfunksjon er en funksjon gitt på formen

fx=k·ax

hvor variabelen x opptrer som eksponent i en potens. Grunntallet i eksponenten, a, er en konstant større enn null, og k er en konstant. 

 

Det er et tall som peker seg spesielt ut som grunntall i eksponentialfunksjonen, og det er tallet
e
= 2,718 281 828 549....

 

 

 

 

 

 

Eksponentialfunksjon graf Til høyre ser du grafen til funksjonen f gitt ved fx=ex. A og B er to vilkårlige punkt på grafen, og linjene a og b er tangenter til grafen i disse punktene. Ser du at stigningstallet til tangentene i punktene A og B har samme verdi som funksjonsverdiene i A og B?

Du kan selv tegne grafen i GeoGebra. Ved å dra punktene A og B langs grafen, vil du se at dette gjelder i alle de punktene du kan undersøke. Faktisk gjelder det helt generelt, uten at vi skal føre bevis for det her.

Eksponentialfunksjonen f gitt ved fx=ex er lik sin egen deriverte.

Eksponentialfunksjoner tabell 1  

Dette gjør tallet e til et av de viktigste tallene i matematikken. Husk at tallet e også er grunntallet til den naturlige logaritmen.

Legg også merke til at når fx=kex , hvor er en konstant, så er f'x=kex .

Hva når eksponenten er en funksjon av x?

Når eksponenten er en funksjon av x, bruker vi kjerneregelen

Eksempel

fx=e4xgu=eu            u=4xg'u=eu           u'=4f'x=g'u·u'xf'x=eu·4f'x=4e4x

Hva når grunntallet ikke er e?

Definisjonen av naturlig logaritme sier at ethvert tall a>0, kan skrives som e opphøyd i logaritmen til a, a=elna.

Det gir at

ax=elnax=exlna

Vi bruker så kjerneregelen

fx=ax=exlnagu=eu     u=xlnag'u=eu    u'=lnaf'x=g'u·u'xf'x=eu·u'f'x=exlna·lnaf'x=elnax·lnaf'x=ax·lna

Eksponentialfunksjoner tabell 2

Eksempel 1                      Eksempel 2fx=5x                          fx=34xf'x=5xln5                     gu=3u          u=4x                                    g'u=3u·ln3    u'=4                                    f'x=g'u·u'x                                    f'x=3u·ln3·4                                    f'x=4·34x·ln3                       

Oppgaver

Generelt