Fagstoff

Kjerneregelen

Publisert: 19.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Mange funksjoner er mer kompliserte enn dem vi har studert til nå, men ved nærmere ettersyn viser det seg ofte at de er satt sammen av enklere funksjoner.

For eksempel kan funksjonen f gitt ved fx=x3+24 oppfattes som en sammensatt funksjon. Først skal en gitt x - verdi opphøyes i tredje potens og adderes til tallet 2. Vi kaller denne funksjonen for u og sier at ux=x3+2 er kjernefunksjonen.

Da er for eksempel

Kjerneregelen 1  

Andre trinn er at det resultatet som u gir, skal opphøyes i 4.potens. Vi oppfatter også dette som en egen funksjon, og kaller denne funksjonen for g. Men denne funksjonen er ikke en funksjon av x, den er en funksjon av u, og vi får at gu=u4.

Da er

Kjerneregelen 2  

Den opprinnelige funksjonen f er da gitt ved fx=gux og

Kjerneregelen 3  

Poenget er at både u gitt ved ux=x3+2 og g gitt ved gu=u4 er funksjoner som vi kan derivere

u'x=3x2g'x=4u3

Funksjonen u er derivert med hensyn på x og funksjonen g er derivert med hensyn på u.

Det kan bevises at følgende regel gjelder for derivasjon av sammensatte funksjoner

Kjerneregelen
 Eksempel 1fx=x3+24                              gu=u4,       u=x3+2g'u=4u3,       u'=3x2f'x=g'u·u'xf'x=u4'·u'f'x=4u3·u'f'x=4x3+23·3x2f'x=12x2x3+23Eksempel 2fx=x-1gu=u,          u=x-1g'u=12u,      u'=1f'x=g'u·u'xf'x=u'·u'f'x=12u·u'f'x=12x-1·1f'x=12x-1

 

Oppgaver

Generelt