Fagstoff

Derivasjon

Publisert: 19.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

I 1T arbeidet vi med den momentane vekstfarten, eller den deriverte, til en funksjon. Vi starter med litt repetisjon.

Derivasjon Vi ønsker å finne den momentane vekstfarten til funksjonen f i punktet Ax,fx.

Vi gir x et tillegg Δx, og får et nytt punkt på grafen

B=x+Δx,fx+Δx

Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene A og B.

 

Vi regner ut stigningstallet til denne linjen

a=ΔyΔx=fx+Δx-fxx+Δx-x=fx+Δx-fxΔx

Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittlig vekstfart fra A til B.

Vi lar nå punktet B nærme seg punktet A. Vi lar altså Δx gå mot null.

Da vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til kurven i A.

Stigningstallet til denne tangenten forteller hvor fort grafen vokser akkurat i punktet A. Vi kaller dette stigningstallet for den momentane veksten eller den deriverte til f i punktet A. Vi skriver f'xog leser « f derivert av x ». Legg merke til tegnet for den deriverte, en liten apostrof på f, f'.

Den deriverte

 

Vi ser på grafen ovenfor.

 

f'x er den verdien ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx nærmer seg mot når Δx går mot null.

 

Definisjon

 

 f'x=limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx+Δx-fxΔx

 

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.

 

Den deriverte i et punkt og den momentane vekstfarten i punktet er det samme.

Fra denne definisjonen av den deriverte i et punkt (x,f(x)) kan vi definere en ny funksjon f' der vi til hver x tilordner verdien f'x. På denne måten har funksjonen f generert en ny funksjon f'. Derfor kalles denne for den deriverte funksjonen.

Oppgaver

Generelt