Fagstoff

Drøfting av funksjonen f(x)=asinkx+bcoskx+c uten derivasjon

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Siden alle funksjoner av typen f(x)=asinkx+bcoskx kan skrives som rene sinusfunksjoner, kan vi drøfte slike funksjoner uten derivasjon.

Fra enhetssirkelen vet vi at sinusfunksjonen gitt ved f(x)=sinx har sin største verdi 1 når x=π2+n·2π, og sin minste verdi –1 når x=3π2+n·2π . Vi kan finne disse verdiene ved å løse likningen sinx=1 evt. sinx=-1.

Eksempel

En funksjon f er gitt ved fx=sinx+3cos(x)+1

  1. Finn den største og den minste verdien funksjonen f kan få.
  2. For hvilke verdier av x har f(x) har den største verdien?

Løsning

Vi så i Likningen a sin kx + b cos kx = d at sin(x)+3cos(x)=2sinx+π3.

Det betyr at sin(x)+3cos(x)+1=2sinx+π3+1.

  1. Vi vet at den største verdien sinx+π3 kan få, er 1, og den minste verdien er -1.

    Den største verdien til f blir       2·1+1=3
    Den minste verdien til f blir        2·-1+1=-1
  2. Funksjonen f har størst verdi når sinx+π3=1. Vi løser denne likningen og finner
    sinx+π3=1x+π3=π2+n·2πx=π6+n·2π

Funksjonen har altså sin største verdi 3 når x=π6+n·2π

Vi går fram på samme måte når vi skal finne for hvilken verdi av x  f har sin minste verdi.

Du kan for eksempel også finne vendepunkter og stigningstall til vendetangenter ved å bruke denne metoden.
Oppgaver

Generelt