Fagstoff

Drøfting av funksjoner

Publisert: 22.04.2013 (09:57), Oppdatert: 06.12.2016 (08:31)

Topp- bunn og vendepunkt grafisk  Topp- bunn og vendepunkt ved regning 

Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. Hvis den deriverte skifter fortegn, er det stasjonære punktet et topp- eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn, er det stasjonære punktet et terrassepunkt.

Punkt og verdi:

  • Førstekoordinaten til et toppunkt kalles et maksimalpunkt, og andrekoordinaten en maksimalverdi.
  • Førstekoordinaten til et bunnpunkt kalles et minimalpunkt, og andrekoordinaten en minimalverdi.

Ekstremalpunkt- og verdi:

  • Maksimalpunkter og minimalpunkter kalles for ekstremalpunkter.
  • Maksimalverdier og minimalverdier kalles for ekstremalverdier.

Maksimal- og minimalverdiene er ofte bare lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet.

En graf vender sin hule side opp når f''(x)>0 og sin hule side ned når f''(x)<0. Dette betyr at vi kan bruke dobbeltderiverttesten til å avgjøre om et ekstremalpunkt er et maksimalpunkt eller et minimalpunkt.

Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles en vendetangent. x-verdien til vendepunktet kalles infleksjonspunkt.

Graf med markerte punkter. Illustrasjon.  

Eksempel

Gitt funksjonen

fx=2sin2x+2x        x0,2π

Finn eventuelle ekstremalpunkter og infleksjonspunkter til funksjonen. Finn eventuelle toppunkter, bunnpunkter og vendepunkter på grafen til funksjonen. Finn også likningen for én vendetangent hvis grafen har vendepunkter.

Løsning

Vi deriverer fx

fx=2sin2x+2xf'x=2cos2x·2+2f'(x)=4cos2x+2

Vi finner eventuelle ekstremalpunkter ved å sette f'x=0

   4cos2x+2=0         cos2x=12              2x=2π3+k·2π    2x=4π3+k·2π               x=π3+k·π       x=2π3+k·π    x0,2π

Ekstremalpunkter

x=π3  x=π3+π  x=4π3  x=2π3  x=2π3+π  x=5π3

Vi tar stikkprøver for å avgjøre monotoniegenskaper:

f'π6=4cos2·π6+2=4f'π2=4cos2·π2+2=4·(-1)+2=-2f'π=4cos2·π+2=4·1+2=6f'3π2=3cos2·3π2+2=4·(-1)+2=-2f'-π6=4cos2-π6+2=4cos-π3+2=4·12+2=4

Vi kan nå sette opp fortegnslinjen for f'x:

Bilde av en fortegnslinje  

Fortegnslinjen viser at grafen til f stiger i intervallene 0,π3,2π3,4π3, og 5π3,2πog synker i intervallene π3,2π3og 4π3,5π3.

Det gir maksimalpunktene x=π3 og x=4π3 og minimalpunktene x=2π3 og x=5π3.

Maksimalverdier

fπ3=2sin2π3+2π3=232+2π3=3+2π3f4π3=2sin8π3+2·4π3=232+4π3=3+8π3

Minimalverdier

f2π3=2sin4π3+2·2π3=2-32+4π3=-3+4π3f5π3=2sin10π3+2·5π3=2-32+10π3=-3+10π3

Toppunkter

π3,3+4π3 og 4π3,3+8π3

Bunnpunkter

2π3,-3+4π3 og 5π3,-3+10π3

Vi finner infleksjonspunkter ved å sette f''x=0.

f'x=4cos2x+2f''x=4(-sin2x)·2f''(x)=-8sin2x f''x=0-8sin2=0   sin2x=0  2x=0+k·2π  2x=π+k·2π          x=k·π  x=π2+k·π       x0,2π

Inflasjonspunkt

x=π2   x=π  x=3π2fπ2=2sin2·π2+2·32=πfπ=2sin2π+2π=2πf3π2=2sin2·3π2+2·3π2=3π

Vendepunkt

  π2,π,π,2π og 3π2,3π

Vi finner vendetangenten i punktet π,2π.
Stigningstallet til tangenten er 

f'π=4cos2·π+2=4·1+2=6

Vi bruker ettpunktsformelen 

y-y1=ax-x1:

y-2π=6x-πy=6x-4π

Til slutt tegner vi grafen til f:

Bilde av en graf . Illustrasjon.     

Oppgaver

Aktuelt stoff for