Fagstoff

Toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt

I eksempelet nedenfor skal vi vise hvordan vi finner topp- og bunnpunkt til en trigonometrisk funksjon ved å bruke den førstederiverte.

Vi skal så bruke den andrederiverte til å finne vendepunkt. Til slutt bruker vi ettpunktsformelen for å finne likningen for vendetangenten.

Eksempel

Finn toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt til funksjonen

fx=3sinx+cosx+2        x[0,2π>

Finn også likningen for vendetangenten.

Løsning

fx=3sinx+cosx+2f'x=3cosx-sinx

Vi finner eventuelle topp - og bunnpunkter ved å sette f'x=0

   3cosx-sinx=03cosxcosx-sinxcosx=0cosx             cosx0         3-tanx=0              tanx=3                 x=1,25+n·π                 x=1,25                x=3,39

f'x har altså nullpunktene 1,25 og 4,39 i intervallet [0,2π>. 

(cosx=0 er ikke løsning av likningen.)

Det er bare i nullpunktene f'x kan skifte fortegn. Vi setter inn en x-verdi i hvert av intervallene , 1,251,25, 4,39 og 4,39,  og setter opp en fortegnslinje for f'x.

f'0=3cos0-sin0=1                 positivf'π=3cosπ-sinπ=-3             negativf'3π2=3cos3π2-sin3π2=1      positiv

Grafen til f stiger når x, 1,25 for så å avta når x1,25, 4,39 og stige igjen når x4,39, .

Bilde av en fortegnslinje  

Grafen til f har et toppunkt i 1,25, f1,25=1,25, 5,16 og et bunnpunkt i 4,39, f4,39=4,39, -1,16.

Vi finner vendepunkt ved å sette f''x=0.

fx=3sinx+cosx+2f'x=3cosx-sinxf''x=-3sinx-cosx           f''x=0-3sinx-cosx=0        -3tanx=1            tanx=13                 x=-0,32+n·π                 x=2,82             x=5,96

Grafen til f har vendepunkt i 2,82, f2,82=2,82, 2 og 5,96, f5,96=5,96, 2.

Bilde av en tenkeboble Vi finner vendetangenten i punktet
(2,28, 2).
Stigningstallet til tangenten er 

       

f'2,82=3cos2,82-sin2,82=-3,16

Vi bruker ettpunktsformelen 

y-y1=ax-x1

y-2=-3,16x-2,82y=-3,16x+10,91

Til slutt tegner vi grafen til fx=3sinx+cosx+2    x[0,2π>

Bilde av en graf    

Oppgaver

Aktuelt stoff for