Fagstoff

Likningssett

Publisert: 18.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut
Buying ticketsBillettpris? En familie som består av tre barn og to voksne, betaler 380 kroner for å komme inn på en fotballkamp.

En annen familie med 4 barn og 3 voksne betaler 540 kroner. Vi ønsker å finne ut hva billettprisen er for barn, og hva billettprisen er for voksne.

La x være billettprisen i kroner for barn og y billettprisen i kroner for voksne.

Prisen den første familien betaler gir likningen

3x+2y=380

Dette er en likning med to ukjente, og det finnes mange par av tall for x og y som passer i likningen. Prisen den andre familien betaler gir likningen

4x+3y=540

Det finnes også her mange par av tall for x og y som passer i likningen. Men det finnes bare ett par av tall for x og y som passer i begge likningene.

To likninger med de samme to ukjente størrelsene, kalles for et likningssett. Å løse et likningssett går ut på å finne de verdiene for x og y som passer i begge likningene.

En metode for å løse et likningssett ved regning, er innsettingsmetoden.

Når vi bruker denne metoden, begynner vi med å finne et uttrykk for den ene ukjente, uttrykt med den andre ukjente ved hjelp av en av likningene. 

I vårt eksempel kan den første likningen gi

3x+2y=380      2y=380-3x        y=190-32x

Tenkeboble setter vi dette uttrykket inn for y i den andre likningen. Husk å bruke parenteser!

              4x+3y=5404x+3190-32x=540

På denne måten får vi én likning med én ukjent og kan løse denne.

         4x+570-92x=5402·4x+2·570-2·92x=2·540                 8x-9x=1080-1140                         x=60

Til slutt setter vi denne verdien for x inn i uttrykket vi fant for y

y=190-32xy=190-32·60y=100

Billettprisen for voksne er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

Vær oppmerksom på at du kan velge både hvilken likning og hvilken ukjent du vil starte med. Forsøk å velge slik at utregningen blir enklest mulig.

Det finnes også andre metoder for å løse likningssett med regning.

I neste eksempel skal vi bruke en metode som kalles addisjonsmetoden. 

Eksempel

Mor til Kari var 32 år da Kari ble født. I dag er Kari og moren til sammen 64 år.

Hva er alderen til Kari og moren i dag?

Løsning

La x være alderen til Kari, og y alderen til moren.

Kari og moren er til sammen 64 år. Dette gir likningen x+y=64. 

Kari ble født for x år siden. Da var mor til Kari 32 år. I dag er mor y år.

Dette gir likningen 32+x=y. 

Vi har da

    x+y=6432+x=y

Vi ordner likningene, og får

 x+y=64x-y=-32

Siden venstresidene i begge likningene er lik høyresidene, må summen av venstresidene være lik summen av høyresidene. Vi adderer derfor venstresidene og høyresidene hver for seg, og setter dem lik hverandreTenkeboble  

 x+x+y-y=64-32           2x=32             x=16

Nå falt leddene med y bort, og likningen med bare x som ukjent gav at Kari er 16 år.

Vi kan nå finne ut hvor gammel moren er ved å bruke en av likningene. 

  32+x=y32+16=y       y=48

Moren er 48 år.

Vi har altså vist at i dag er mor til Kari 48 år, og Kari er 16 år.

For at vi skal komme i mål med addisjonsmetoden, må leddene med en av de ukjente falle bort under addisjonen. Det kan vi som oftest få til å skje ved først å multiplisere likningene i likningssettet med passende tall. Innsettingsmetoden er allikevel den metoden som anbefales. Den fungerer alltid.

Likningssett med ter ukjente

En dag kjøpte Sara, Trym og Miriam frukt på torget. Tabellen nedenfor viser hva hver av de tre handlet, og hva de måtte betale.

 Antall kg morellerAntall kg jordbærAntall kg pærerPris i kroner
Sara231370
Trym323450
Miriam311330

Vi skal nå se at vi kan regne ut kiloprisen for de enkelte fruktslagene ved å sette opp og løse et likningssett med tre likninger.

Vi lar x være kiloprisen på moreller, kiloprisen på jordbær og kiloprisen på pærer. Da kan vi sette opp følgende tre likninger ut fra opplysningene i tabellen

 i)    2x+3y+z=370ii)   3x+2y+3z=450iii)  3x+y+z=330

Det er ofte lurt å nummerere likningene!

Vi løser likning iii) med hensyn på z

iii) z=330-3x-y

Så setter vi dette uttrykket for z inn hver av de to andre likningene

i)   2x+3y+330-3x-y=370ii)  3x+2y+3·330-3x-y=450

TorghandelTorghandelVi ordner likningene, og får

i)     2x-3y+330-3x-y=370       2x-3x+3y-y=370-330       -x+2y=40ii)    3x+2y+3·330-3x-y=450       3x+2y+990-9x-3y=450       -6x-y=-540       6x+y=540

Nå kan vi bruke innsettingsmetoden for likningssett med to ukjente:

i)   -x+2y=40          -x=40-2y             x=2y-40  ii)   -6·2y-40-y=-540        -12y+240-y=-540                    13y=780                  y=60

Vi kan da sette inn i likning i) og iii), og finne de andre ukjente
i) x=2y-40=2·60-40=80ii) z=330-3x-y=330-3·80-60=30

Det betyr at kiloprisen på moreller er 80 kroner, kiloprisen på jordbær er 60 kroner, og kiloprisen på pærer er 30 kroner.

Ved CAS i GeoGebra kan du merke rutene hvor du har skrevet inn likningene, og trykke på kommandoknappen «Løs en eller flere likninger».

Løse likningssett i GeoGebra. Bilde.  

Oppgaver

Generelt

Relatert innhold

Faglig