Fagstoff

Rasjonale likninger

Publisert: 18.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Rasjonale likninger er likninger som inneholder rasjonale uttrykk.

Rasjonale likninger er likninger som inneholder rasjonale uttrykk som for eksempel brøker med polynomer i teller og nevner.

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Vi må derfor være spesielt oppmerksomme og forkaste eventuelle falske løsninger. Det vil si løsninger som gjør at nevneren i en eller flere av brøkene blir lik null.

Det er veldig lurt å starte ved å multiplisere med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet. Vi får da en likning uten brøker. For å finne fellesnevneren må vi faktorisere nevnerne.

 

Eksempel (uten falske løsninger)

Vi skal løse likningen

 1x2-1+x+44x-4=1

Vi begynner med å faktorisere nevnerne og finne fellesnevner.

                    x2-1=x-1x+1    3. kvadratsetning                   4x-4=4x-1          Felles faktorFellesnevner             4x-1x+1

Fellesnevneren blir 4x-1x+1. Vi ser da at vi må forutsette at x-1 og x1 fordi x = −1 og x = 1 gir null i nevnerne.

Vi fortsetter med å multiplisere hvert ledd på begge sider av likhetstegnet med fellesnevneren og forkorter så faktor mot faktor i hvert ledd:

Tenkeboble, før du går i gang  

Til slutt kontrollerer vi svaret vårt: I dette eksempelet gir ingen av våre løsninger null i nevner, så begge løsningene aksepteres.

Tenkeboble, Rasjonal likning  

Eksempel (to falske løsninger)

Vi skal løse likningen xx-1-1x+2=3x2+x-2

Nevneren x2+x-2=x-1x+2, og dette blir også fellesnevneren. Vi ser da at tallene 1 og −2 må utelukkes som eventuelle løsninger av likningen.

Vi fortsetter med å multiplisere hvert ledd på begge sider av likhetstegnet med fellesnevneren, og forkorter faktor mot faktor i hvert ledd

xx-1x-1x+2-1x+2x-1x+2=3x2+x-2x-1x+2   x1 x-2                           xx+2-x-1=3                           x2+2x-x+1-3=0                                    x2+x-2=0                                             x=-1±12-4·1·-22·1                                             x=-1±32                                             x1=1  x2=-2

Vi kontrollerer igjen svaret, og ser at vi har allerede utelukket begge disse løsningene.  

Likningen har dermed ingen løsning.

Ved CAS i GeoGebra får vi

Løse rasjonal likning i GeoGebra. Bilde.  

Tom klammeparentes markerer at likningen ikke har løsning.

Oppgaver

Generelt