Fagstoff

Tredjegradslikninger

Publisert: 18.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut
Andregradslikninger

I 1T og i S1 arbeidet vi med likninger av første og andre grad, og med likninger som inneholdt brøkuttrykk. Vi skal nå se hvordan vi løser noen tredjegradslikninger. Vi skal også arbeide mer med likninger med rasjonale uttrykk.

En tredjegradslikning er en likning som kan ordnes slik at vi får et tredjegradspolynom på venstre side av likhetstegnet, og 0 på høyre side. En generell tredjegradslikning ser da slik ut

ax3+bx2+cx+d=0

Vi har lært å faktorisere tredjegradspolynomer når vi har et kjent nullpunkt. Da er vi også i stand til å løse tredjegradslikninger med et kjent nullpunkt.

Siden ax3+bx2+cx+d=ax-x1x-x2x-x3 hvor x1,x2 og x3 er nullpunktene til ax3+bx2+cx+d, blir løsningen av likningen

        ax3+bx2+cx+d=0ax-x1x-x2x-x3=0                          x=x1,  x=x2  eller x=x3

Vi faktoriserte tidligere uttrykket 2x3+7x2+2x+3, og fikk at

2x3-7x2+2x+3=2x-3x+12x-1

Tredjegradslikningen 2x3+7x2+2x+3=0 kan da løses slik

       2x3+7x2+2x+3=02x-3x+12x-1=0                         x1=3   x2=-12   x3=1

Vi tar med et eksempel som viser hele framgangsmåten.

Eksempel

Vi skal løse tredjegradslikningen 3x3+2x2=3x+2.

Først ordner vi likningen slik at vi får 0 på høyre side.

         3x3+2x2=3x+23x3+2x2-3x-2=0

Så må vi ved hjelp av prøving og feiling finne en løsning av likningen.

Det er ofte lurt å prøve med x-1 først.

 Venstre side: 3·13+2·12-3·1-2=3+2-3-2=0Høyre side: 0

Full klaff med en gang! Vi har dermed vist at x-1 er en faktor i uttrykket 3x3+2x2-3x-2, og vi foretar polynomdivisjonen

  3x3+2x2-3x-2:x-1=3x2+5x+2-3x3-3x2         5x2-3x-2      -5x2-5x                2x-2             -2x-2                      0

Vi har altså

3x3+2x2-3x-2=x-13x2+5x+2

Vi finner så nullpunktene til 3x2+5x+2

3x2+5x+2=0            x=-5±52-4·3·22·3=-5±16            x1=-1    x2=-23

Tredjegradslikningen blir

                3x3+2x2=3x+2       3x3+2x2-3x-2=03x-1x+1x+23=0

og har altså løsningene      x=1,  x=-1  eller x=-23

Vi løser også likninger ved CAS i GeoGebra.

For eksakte løsninger, klikker vi på knappen Kommandoknapp for eksakt løsning i Geogebra. Bilde.

Tredjegradslikning i GeoGebra. Bilde.  

For tilnærmede løsninger, klikker vi på Kommandoknapp for tilnærmet løsning i GeoGebra. Bilde. Tredjegradslikning i GeoGebra. Bilde.   

Oppgaver

Generelt