Fagstoff

Polynomdivisjon

Publisert: 18.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Du har tidligere lært å dividere tall. Nå skal vi dividere polynomer. Framgangsmåten er ganske lik. Du husker sikkert også at noen divisjoner «gikk opp», vi fikk ingen rest når vi dividerte. I slike tilfeller kunne vi bruke resultatet av divisjonen til å faktorisere tallet vi startet med.

Eksempel

231:7=3321  21  21   0

Dette betyr at 231=33·7.

På tilsvarende måte skal vi bruke polynomdivisjon når vi skal faktorisere tredjegradspolynomer.

Eksempel

Vi ser på tredjegradspolynomet 2x3-7x2+2x+3.

Vi setter inn x=1 i polynomet, og får 2·13-7·12+2·1+3?2-7+2+3=0.

Dette betyr at x=1 er et nullpunkt for polynomet. x-1  er en faktor i 2x3-7x2+2x+3 og divisjonen 2x3-7x2+2x+3:x-1 vil «gå opp».

Vi skal nå se på hvordan vi utfører selve divisjonen.

Polynomdivisjon   

Vi fikk «rest lik 0». Det betyr at divisjonen «gikk opp».

Vi kan da skrive

2x3-7x2+2x+3=2x2-5x-3x-1

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom.
Andregradspolynomet kan vi nå faktorisere ved hjelp av nullpunktmetoden.

Vi setter 2x2-5x-3=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

2x2-5x-3=0            x=--5±-52-4·2·-32·2            x=5±74            x1=3    x2=-12

Det betyr at 2x2-5x-3=2x-3x--12=2x-3x+12=x-32x+1

Her har vi multiplisert inn 2-tallet i den siste parentesen.

Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir

2x3-7x2+2x+3=2x2-5x-3x-1=x-32x+1x-1

Vi får samme resultat ved CAS i GeoGebra.

Polynomdivisjon i GeoGebra. Bilde.  

Oppgaver

Generelt