Fagstoff

Konvergente og divergente rekker

Publisert: 18.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Når en uendelig rekke nærmer seg en bestemt sum når n, sier vi at rekken konvergerer.

 

Når en uendelig rekke ikke nærmer seg en bestemt sum når n, sier vi at rekken divergerer.

 

Vi ser nærmere på sumformelen for geometriske rekker

Sn=a1kn-1k-1 når k1

Hva skjer med summen når n blir veldig stor?

Når n , er det bare leddet kn som vil endre seg. Hvis k-1,1, vil kn når n. Summen av rekken blir da

S=limna1·kn-1k-1=a1·0-1k-1=-a1k-1=a11-k

Rekken går altså mot en bestemt sum, og er derfor konvergent.

 

En uendelig geometrisk rekke hvor k-1,1 , er konvergent og har sum

 

S=a11-k

 

Vi kan også vise at rekken vil divergere for alle andre verdier av k (vi forutsetter her at a10)

  • Når k,-1 eller k1,, vil kn når n.
    Grenseverdien for summen vil da ikke eksistere, og rekken divergerer.
  • Når k = 1 , blir summen Sn=n·a1
    Summen  eller - når n. Rekken divergerer.
  • Når k = −1, blir summen S=a1+a1·k+a1·k2+...=a1-a1+a1-...
    Summen vil bli a1 eller 0. Da eksisterer det ikke noen bestemt grenseverdi for summen, og rekken divergerer.

 

Oppgaver