Fagstoff

Uendelige geometriske rekker

Publisert: 18.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

  De geometriske rekkene vi har sett på til nå har stort sett bestått av et endelig antall ledd. Vi skal nå studere geometriske rekker med uendelig mange ledd.

La oss først se på en rekke hvor a1 = 2, og kvotienten k=12. Ledd nummer n er gitt ved formelen

an=a1·kn-1an=2·12n-1

De første leddene i denne rekken blir

2+1+12+14+...

Summen av de 10 første leddene i rekken er

S10=n=1102·12n-13,99609375

Summen av de 30 første leddene i rekken er

S30=n=1302·12n-13,99999999627470

Hvis vi regner ut summen av de 100 første leddene, får vi

S100=n=11002·12n-14

Det skal ikke så mange ledd til før summen blir tilnærmet lik tallet 4. Det er begrenset hvor mange siffer vi kan ta med i svaret, derfor får vi svaret avrundet til 4 når vi får mange nok ledd.

Men uansett hvor mange ledd vi tar med, vil aldri summen overstige tallet 4. Prøv selv!

Forklaringen på dette kan vi finne ved å bruke formelen for summen av en endelig geometrisk rekke

Sn=a1·kn-1k-1=2·12n-112-1=2·12n-1-12   =-4·12n-1=-4·12n-1=4·1-12n

Når n blir veldig stor, vil leddet 12n bli mindre og mindre, og summen vil derfor nærme seg 4. Men summen vil alltid være litt mindre enn 4.

I matematikken bruker vi symbolet  for uendelig. Vi bruker pil for å peke på hva et utrykk går mot. Da kan vi skrive

Sn=41-12n4 når n

Siden vi kan få summen så nærme 4 vi bare vil, så sier vi at rekken har sum lik 4, og ved å bruke «lim» (latin limes, engelsk limit) for grenseverdi skriver vi ar summen S er

S=limn41-12n=4

Oppgaver