Fagstoff

Geometriske rekker

Publisert: 18.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

  Når vi adderer leddene i en geometrisk tallfølge, får vi en geometrisk tallrekke. I en geometrisk rekke er forholdet mellom et ledd og det foregående leddet konstant. Vi kaller dette forholdstallet for rekkens kvotient, k.

Et eksempel på en geometrisk rekke er 20 + 40 + 80 + 160 + ...

Hvert ledd i denne rekken er lik leddet foran multiplisert med 2. Vi har altså en geometrisk rekke med a1= 20 og k = 2.

I avsnittet Geometriske tallfølger kom vi fram til at ledd nummer n i en geometrisk tallfølge er gitt ved

an=a1·kn-1

Denne formelen gjelder også for ledd nummer n i en geometrisk rekke. Det betyr at når vi kjenner an og k i en geometrisk rekke, kan vi finne alle leddene i rekken.

Eksempel

Vi skal bestemme kvotienten og det første leddet i en geometrisk rekke, der a5=243 og a8=6 561.

Det er 8 - 5 = 3 plasser fra a5 til a8.

Det gir at

a8=a5·k3k3=a8a5=6561243=27k=273=3

Vi kan da finne a1

a5=a1·k5-1      a1=a5k4=24334=24381=3

Den geometriske rekken blir da

3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187 + 6561 +...

Summen av en geometrisk rekke

Vi ønsker å finne en formel for summen av de n første leddene i en geometrisk rekke. Vi finner først summen av de 5 første leddene.

Vi har at

S5=a1+a2+a3+a4+a5S5=a1+a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4

Vi multipliserer begge sidene i likningen med k


k·S5=k·(a1+a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4)k·S5=a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4+a1·k5

 Vi finner så differansen mellom k·S5 og S5

Geometriske rekker, utregning  

Her opptrer de fleste leddene i par. Ledd markert med samme farge har samme verdi, men motsatt fortegn og faller bort. Dette gir 

k·S5-S5=a1·k5-a1S5k-1=a1·k5-1        S5=k5-1k-1    k1

Vi kan ikke ha en brøk med null i nevner. Derfor gjelder formelen bare når k1 . Dersom k=1 , blir alle leddene i rekken like. Summen av rekken blir da S5=5·a1.

Resonnementet ovenfor gjelder på samme måte om vi bytter ut antall ledd i rekken med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5.

 

Summen av de n første leddene i en geometrisk rekke er gitt ved formelen

 

Sn=a1kn-1k-1   når k1

Når k = 1 blir Sn=n·a1.

 
Oppgaver

Generelt