Fagstoff

Trigonometriske likninger

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Trigonometriske likninger 1

Sinuslikninger

Vi skal finne løsningene til likningen 2sinx-1=0

Vi ordner først likningen slik at vi får sinx alene på venstre side.

2sinx-1=02sinx=1sinx=12

Det finnes to vinkler i første omløp som har sinusverdi 0,5. Det er 30° eller π6 målt i radianer, og 150°, som svarer til 5π6 i radianer.

Videre har for eksempel vinklene 30° og 390° sammenfallende vinkelbein. Det betyr at disse vinklene har like sinusverdier. Vi sier at sinus har en periode på 360° eller 2π.

Sinusverdi 0,5 i enhetssirkel. Illustrasjon.  

Likningen sinx=12 har derfor uendelig mange løsninger gitt ved

x=30°+k·360°    x=(180°-30°)+k·360°    k

med grader som vinkelmål, og

x=π6+k·2π    x=(π-π6)+k·2π    k

med radianer som vinkelmål.

Hvis definisjonsmengden er begrenset til intervallet [0,2π), er det bare k=0 som gir løsninger og løsningsmengden blir L=π6, 5π6

I CAS bruker vi listeparenteser og legger inn likningen sammen med intervallet vi søker løsninger i:

GeoGebra {2*sin(x)-1=0,x≥0,x<2pi}. Skjermdump.GeoGebra, CAS: {2*sin(x)-1=0,x≥0,x<2pi}.

Forklar hvorfor løsningsmengden til likningen

2sinx-1=0    x[0,4π>

blir

L=π6,5π6,13π6,17π6

Det er svært viktig at du legger merke til hvilket intervall du skal finne løsninger i. Det varierer fra oppgave til oppgave.

Løsningen på likningen 2sinx-1=0 når x blir

L=π6+k·2π,5π6+k·2π   k

I CAS i GeoGebra får vi de samme løsningene:

GeoGebra 2*sin(x)-1=0. Skjermdump.GeoGebra, CAS: 2*sin(x)-1=0Med grader som vinkelmål får vi:

GeoGebra 2*sin(x)-1=0. Skjermdump.GeoGebra, CAS: 2*sin(x)-1=0

Husk at ikke alle trigonometriske likninger har løsninger. Sinus til en vinkel er alltid et tall lik eller større enn –1 og lik eller mindre enn 1.

For eksempel har likningen sinx = 2 ingen løsning. Merk også at likningene sin(x) = 1 og sin(x) = –1 bare har én løsning i første omløp.

Trigonometriske likninger 2 

Cosinuslikninger

Vi skal finne løsninger til likningen 4cos2x + 2 = 0.

Vi ordner først likningen slik at vi får cos2x alene på venstre side.

4cos2x+2=04cos2x=-2cos2x=-12

Det finnes to vinkler i første omløp som har lik cosinusverdi.

Cosinusverdi -0,5 i enhetssirkel. Illustrasjon.  Vinklene i første omløp som har cosinusverdi lik –0,5, er 120°, eller 2π3 målt i radianer, og –120° + 360° = 240°, som svarer til 4π3 i radianer.

I tillegg har også cosinus, på samme måte som sinus, en periode på 360° eller 2π.

Likningen cos2x=-12 har derfor uendelig mange løsninger. Husk at det er vinkelen 2x, og ikke vinkelen x, som har cosinusverdi lik –0,5.

2x = 120°+k·360°      2x=240°+k·360°   k   x=60°+k·180°      x=120°+k·180°

L={60°+k·180°,120°+k·180°}

Legg merke til nest siste linje i likningen. Begge leddene i likningene må divideres på 2, og her synder mange!

Hvis definisjonsmengden er begrenset til intervallet [0,360°), er det k = 0 og k = 1 som gir løsninger, og løsningsmengden blir

L = {60°,120°,240°,300°}.

I CAS finner vi de generelle løsningene og løsningene i intervallet både i grader og radianer:

GeoGebra {4*cos(2x)+2,x≥0,x<2pi}. Skjermdump.GeoGebra, CAS: {4*cos(2x)+2,x≥0,x<2pi}.

Legg merke til at -60°+180°·1=120°.

Trigonometriske likninger 3 

Likningen a sin kx + b cos kx = 0

Ved å utnytte at tanv=sinvcosv når cosv ≠ 0, kan vi løse likninger av typen acosv + bsinv = 0.

Vi skal finne løsningene til likningen 2cos2x+2sin2x=0 når x[0,4π>.

Hvis cos2x = 0, så er sin2x = 1 eller sin2x = –1, og cos2x = 0 er derfor ikke en løsning av likningen. Vi kan derfor anta cos2x ≠ 0 og dividere med cos2x på begge sider i likningen.


  2cos2x+2sin2x=02cos2xcos2x+2sin2xcos2x=0cos2x    cos2x0          1+tan2x=0                tan2x=-1

Sinus og cosinus i enhetssirkel. Illustrasjon. Vi har tidligere sett at tanu=sinucosu

Av figuren til høyre ser vi at

sinu = –sin(u+180°) og cosu = –cos(u+180°)

Det gir

tanu=sinucosu=-sinu+180°-cosu+180°=sinu+180°cosu+180°=tanu+180°

Dette betyr at tangens har en periode på 180°. Vi ser videre av figuren at vinkler i 1. og 3. kvadrant har positive tangensverdier, og vinkler i 2. og 4. kvadrant har negative tangensverdier. I 2. og 4. kvadrant har sinus og cosinus til en vinkel forskjellige fortegn.

Tangens til -1 i enhetssirkel. Illustrasjon. Figuren viser at vinkelen mellom 0° og 180° som har tangensverdi lik –1 , er 135° eller 34π. Vi får

2x = 3π4+n·πx = 3π8+n·π2L=3π8,7π8,11π8,15π8,19π8,23π8,27π8,31π8

Legg merke til at løsningsmetoden forutsetter at høyre side i den gitte likningen er lik null. Vi skal senere se hvordan vi løser likninger hvor dette ikke er tilfelle.

To tips for å løse sammensatte trigonometriske likninger

Ved å utnytte at tanv=sinvcosv når cos0, kan vi løse likninger av typen
acosv+bsinv=0.

Husk at dersom du dividerer med cosv, må du forutsette at cosv0. Du må derfor undersøke om likningen også har løsning når cosv=0.

Hvis høyresiden ikke er lik null, kan du prøve å bruke enhetsformelen
sinv2+cosv2=1 for å omforme likningen.

Eksempel

Vi skal finne løsningene til likningen cos2x-3sin2x=-2 når x[0,2π>.

     cos2x-3sin2x=-21-sin2x-3sin2x=-2               -4sin2x=-3                     sin2x=34                       sinx=±34         sinx=-32      sinx=32            L=π3,2π3,4π3,5π3

 

Oppgaver