Fagstoff

Sum og differanse av vinkler

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Vi har følgende sammenhenger for sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler:

Bilde av en tenkeboble  

 

sinu+v=sinu·cosv+cosu·sinvsinu-v=sinu·cosv-cosu·sinvcosu+v=cosu·cosv-sinu·sinvcosu-v=cosu·cosv+sinu·sinvsin2u=2sinu·cosucos2u=cos2u-sin2u

 

 

Differanse av vinkler  

Bevis for cosu-v=cosu·cosv+sinu·sinv 

Figuren viser en enhetssirkel med vinklene u, v og u-v.Bilde av en enhetssirkel  

Punktet P har koordinater 

(cosu, sinu), og
Punktet Q har koordinater
(cosv, sinv).

Vi har at

OP=cosu,sinuOQ=cosv, sinv

Skalarproduktet på koordinatform gir

OP·OQ=cosu,sinu·cosv,sinv=cosu·cosv+sinu·sinv

Definisjonen av skalarproduktet gir følgende når uv er lik eller mindre enn 180°

OP·OQ=OP·OQ·cosu-vOP·OQ=1·1·cosu-vOP·OQ=cosu-v

Vi har da vist at cosu-v=cosu·cosv+sinu·sinv

Når u − v er større enn 180°, er det vinkel z på figuren som er den minste vinkelen mellom vektorene.

Bilde av en enhetssirkel

Da er

OP·OQ=cosz

Men z + u − v = 360°

Det betyr at z = 360° (u − v)

Da er

cosz=cos360°-u-v=cos-u-v=cosu-v

Det vil si at også nå er OP·OQ=cosu-v, og setningen gjelder generelt.

Sum av vinkler

Bevis for cosu+v=cosu·cosv-sinu·sinvSum og differanse i enhetssirkel. Bilde.   

Vi har tidligere sett at

cos-v=cosvsin-v=-sinv

Se figur.

Vi bruker formelen for cos(u − v) som vi beviste ovenfor:

cosu-v=cosu·cosv+sinu·sinv

Bilde av en tenkeboble  Vi setter u + v = u − (−v) og får

cosu+v=cosu--v=cosu·cos-v+sinu·sin-v=cosu·cosv+sinu·-sinv=cosu·cosv-sinu·sinv

 

Sum og differanse av vinkler - Oppsummering 

Oppgaver