Fagstoff

Eksakte verdier

Publisert: 18.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Eksakte verdier 1

Eksakte verdier 2 

Vi skal nå se hvordan vi ved hjelp av to kjente rettvinklede trekanter kan finne eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til vinkler på 30°, 45° og 60° eller i radianer π6, π4 og π3.

Vi starter med en rettvinklet trekant der hypotenusen er dobbelt så lang som den korteste kateten.

Vi setter den korteste kateten lik x. Hypotenusen blir da 2x.

Bilde av en tenkeboble

 

    Bilde av en trekant   

 

 sinA=x2x=12Bilde av en trekant  

Hvilken vinkel i 1. kvadrant har sinusverdi lik 12?

cosC=x2x=12

 

Hvilken vinkel i 1. kvadrant har cosinusverdi lik 12?

Bilde av en tenkeboble

De spisse vinklene er 30° og 60°.

Den lengste kateten, AB, finner vi ved å bruke Pytagoras læresetning

AB2=2x2-x2AB =4x2-x2AB =3x

Definisjonen av sinus, cosinus og tangens gir oss da følgende 
eksakte verdier:

sin30=sinπ6=x2x=×2x=12cos30=cosπ6=3x2x=3x2x=32tan30=tanπ6=x3x=x3x=13=33sin60=sinπ3=3x2x=3x2x=32cos60=cosπ3=x2x=x2x=12tan60=tanπ3=3xx=3xx=3

Vi kunne også ha brukt at tanv=sinvcosv når cosv0

Så tar vi utgangspunkt i en rettvinklet, likebeint trekant der de spisse vinklene er 45o.Bilde av en trekant

Vi setter katetene lik og finner hypotenusen, AB

AC2=x2+x2AC =2x2AC =2x

 

Bilde av en enhetssirkel

Definisjonen av sinus, cosinus og tangens gir oss følgende
eksakte verdier:

sin45=sinπ4=x2x=x2x=12=22cos45=cosπ4=x2x=x2x=12=22tan45=tanπ4=xx=1

 

Ved hjelp av symmetri kan du nå finne de eksakte verdiene til mange av vinklene på enhetssirkelen. Husk at du finner verdiene til cosinus på x-aksen og verdiene til sinus på
y
-aksen.

Her ser vi at sin30=sin150=0,5.

Bilde av en tenkeboble

Oppgaver