Fagstoff

Uendelige geometriske rekker med variable kvotienter

Publisert: 04.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Tidligere i dette kapitlet har vi sett at det er verdien på kvotienten k som bestemmer om en uendelig geometrisk rekke konvergerer eller divergerer.

En uendelig geometrisk rekke vil konvergere dersom k-1,1.

I den uendelige geometriske rekken

1+1x+1x2+1x3+...   x0

er kvotienten k=1x . Det betyr at rekken konvergerer når 1x-1,1. Vi må altså løse denne dobbeltulikheten for å finne for hvilke verdier av x rekken konvergerer. Disse verdiene kalles rekkens konvergensområde.

Dobbeltulikheten kan løses som to enkle ulikheter

      -1<1x                       1x<1-1-1x<0                     1x-1<0   x+1x>0                     1-xx<0

Fortegnsskjema geometriske rekker  

Den første ulikheten gir at x,-10,.

Den andre ulikheten gir at x,01,.

Det betyr at rekken konvergerer når x,-11,.

Rekken har da summen

Sx=a11-kSx=11-1xSx=xx-1

Summen er en funksjon av x. Nedenfor har vi tegnet grafen til S i rekkens konvergensområde.

Graf geometriske rekker  

Vi kan bruke grafen til å finne hva summen av rekken er for gitte verdier av x. Vi kan også finne de x - verdiene som gir en bestemt sum.

Det samme kan vi finne ved regning.

Forutsetningen er at vi hele tiden bruker x - verdier som ligger i konvergensområdet.

Oppgaver
Relatert innhold

Generelt