Fagstoff

Praktiske problemer knyttet til uendelige geometriske rekker

Publisert: 04.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Uendelige geometriske rekker er nyttige i mange sammenhenger. Vi skal se på et par eksempler.

Medisin

Eksempel
LykkepillerLykkepiller?En person tar medisin hver dag. Medisinen han tar, er ikke skadelig så lenge det ikke er mer enn 100 mg medisin i kroppen. Kroppen skiller ut 20 % av medisinen hvert døgn.

Vi tenker oss at personen har tatt en mengde a av medisinen hver dag i uendelig lang tid. Av medisinmengden a han tok i går, er bare a·0,8 igjen i kroppen i dag siden 20 % skilles ut per døgn. Av medisinmengden a han tok for to dager siden, er bare  a·0,82 igjen i kroppen.

Samlet mengde medisin i kroppen er summen av det han tok i dag, det han tok i går osv. Siden k=0,8<1, får vi en uendelig konvergent geometrisk rekke

a+a·0,8+a·0,82+a·0,83+...

Vi bruker sumformelen for uendelige konvergente geometriske rekker. Vi vet at summen ikke må overstige 100 mg, og vi kan da bestemme den høyeste daglige dosen som er forsvarlig å gi pasienten

   S=a1-k100=a1-0,8   a=20

Den høyeste akseptable dosen per dag er 20 mg.

Utslipp

Eksempel
Olje på våt asfaltOlje på våt asfalt. Hvor kommer alle fargene fra?En oljetank får en skade, og det begynner å lekke olje fra tanken. Det første minuttet lekker det ut 132 liter. Så avtar lekkasjen med 2 % for hvert minutt helt, til tanken er tom.

1) Hvor mye olje vil lekke ut i løpet av den første timen?

2) Omtrent hvor mye olje var det i tanken før lekkasjen startet?

Løsning
1) Antall liter olje som lekker ut den første timen, er summen av de 60 første leddene i en geometrisk rekke med a1=132 og k=0,98

Sn=a1·kn-1k-1Sn=132·0,9860-1(0,98-1)4 636

Det vil lekke ut ca. 4 636 liter olje den første timen.

2) Samlet oljemengde som lekker ut, er summen av den uendelige geometriske rekken med a1=132 og k=0,98

S=a11-kS=1321-0,98=6 600

Det var omtrent 6 600 liter olje i tanken før lekkasjen startet.

Oppgaver
Relatert innhold

Generelt