Fagstoff

Aritmetiske rekker

Publisert: 12.02.2013, Oppdatert: 05.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Når vi adderer leddene i en aritmetisk tallfølge, får vi en aritmetisk rekke.

Et eksempel på en slik rekke er 2 + 5 + 8 + 11 + ...
Vi ser at differansen d mellom et ledd og det foregående leddet er 3.

I kapittelet Aritmetiske tallfølger  fant vi at ledd nummer i en aritmetisk tallfølge var gitt ved an=a1+n-1d.
Denne formelen gjelder på samme måte for ledd nummer n i en aritmetisk rekke.

Summen av en aritmetisk rekke

Vi ønsker å finne en formel for summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke. Vi finner først en formel for summen av de 5 første leddene.

Vi skriver summen av de 5 første leddene på to måter. Først leddene i stigende rekkefølge, så leddene i synkende rekkefølge.

Aritmetiske rekker

Vi summerer venstresidene og høyresidene og får

Aritmetiske rekker  

I parentesene på høyresiden vil de «blå leddene» øke med d for hver parentes fra venstre mot høyre mens de «røde leddene» vil avta med d. Det betyr at summen i hver av parentesene er like.

Aritmetiske rekker  

Høyresiden blir da lik 5·a1+a5, og siden venstresiden kan skrives som 2·S5, får vi at

2·S5=5·a1+a5

Ved å dividere med 2 på begge sider av likhetstegnet får vi

S5=5·a1+a52

Resonnementet ovenfor gjelder om vi bytter ut antall ledd i rekken med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5.

Summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved formelen

 

Sn=n·a1+an2

 

Eksempel

SyklerHvor mange sykler? I 2008 solgte en forhandler 3 000 sykler. Vi antar at salget vil øke med 300 sykler per år i noen år framover.

1) Hvor mange sykler vil forhandleren til sammen selge fram til og med år 2013?

2) Når vil det årlige salget være på 3 900 sykler?

3) Hvor mange år vil det gå før forhandleren til sammen har solgt 32 400 sykler?

Løsning

1) Fra og med 2008 til og med 2013 vil si en periode på seks år. De årlige salgstallene danner en aritmetisk rekke der a1=3000 og d=300.

Vi finner først a6 dvs. salget i 2013

 a6=a1+6-1·300=3000+5·300=4500

Samlet salg blir

S6=a1+a62·6=3000+45002·6=7500·3=22 500

Forhandleren vil selge 22 500 sykler fram til og med år 2013.

2) Et uttrykk for salget om n år er an=a1+n-1·300=3000+300n-300=300n+2700

Vi kan finne når det årlige salget er 3 900 sykler, ved å sette an=3900 og løse likningen

300n+2700=3900         300n=1200              n=4

Husk at vi teller fra og med år 2008, slik at n = 4 blir i år 2011.

3) Vi vil nå finne når summen av salget blir 32 400 sykler.

Vi finner først et uttrykk for Sn

Sn=a1+an2·n  =3000+300n+27002·n  =300n+57002·n  =150n2+2850n

Vi setter så Sn=32400

Aritmetisk rekke i GeoGebra. Bilde.  

Her kan vi bare bruke den positive løsningen. Summen av salget vil nå 32 400 sykler ved utgangen av 2015.

Oppgaver

Generelt