Fagstoff

To båters reiseruter

Publisert: 08.01.2013, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Ved parameterfremstilling

To båter starter samtidig, og båtenes reiseruter de første 5 timene er beskrevet med parameterfremstillingene m og n gitt ved

m:x=2+3ty=6-4t og n:x=2sy=-3+2s

Kryssende linjer i koordinatsystem. Bilde.  

Tenkeboble med tips om parameterfremstilling. Bilde. Hvordan kan vi ved regning finne skjæringspunktet mellom linjene som beskriver båtenes reiseruter?

I skjæringspunktet er både y-koordinatene og  x-koordinatene like store.
Vi får to likninger med to ukjente

2+3t=2s6-4t=-3+2s

Den første likningen gir: 2+3t=2s s=2+3t2

Innsatt i likning 2 får vi:

6-4t=-3+2·2+3t2  6-4t=-3+2+3t  -7t=-7  t=1

Innsatt i likning m får vi

x=2+3·1=5y=6-4·1=2

Skjæringspunktet er (5,2).

I GeoGebra kan du finne skjæringspunktet mellom kurvene ved kommandoen «Skjæring[<Objekt>,<Objekt>]» og du skriver «Skjæring[m,n]».

Vil båtene kollidere?

Båter på kollisjonskurs. Foto Vi ser at båtenes reiseruter krysser hverandre, og de vil da kollidere hvis de er på dette stedet til samme tid.

Vi forutsatte at båtene startet samtidig og dermed at tidsparameterne og startet samtidig for begge båtene.

I skjæringspunktet er x- koordinaten lik 5.

Båt med reiserute m vil nå dette punktet når 2+3t=5  t=1. Det vil si etter 1 time.

Båt med reiserute n vil nå dette punktet når 2s=5  t=2,5. Det vil si etter 2,5 timer.

Det betyr at båtene ikke kolliderer!

Du kan lage en animasjon av båtenes reiseruter ved å innføre glidere for t og s. La begge glidere variere mellom 0 og 5.

Definer så punktene A=2+3t,6-4t og B=2s,-3+2s.

Sett på animasjon på gliderne og sporing på punktene. Du vil da se at båtene ikke kolliderer!

Diagrammet nedenfor viser hvor langt båtene har kommet ette 2,5 timer.

Grafer med glidere. Bilde.  

Ved vektorfunksjoner

Utregning i GeoGebra vektorfunksjoner. Bilde. Vi definerer så båtenes reiseruter med vektorfunksjoner i CAS. Se linje 1 og 2.

Vi kan finne linjenes skjæringspunkt ved å løse likningen i linje 3. Vi får at båten som følger linje m ankommer skjæringspunktet etter 1 time, og båten som følger linje n ankommer skjæringspunktet etter 2,5 timer.

Linje 4 viser at dette skjæringspunktet er (5,2) .