Fagstoff

Fart og akselerasjon

Publisert: 08.01.2013, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Vektorer i kurve Den blå kurven til høyre viser bevegelsen til et legeme i forhold til et koordinatsystem. La posisjonsvektoren rA angi posisjonen til legemet etter tiden t, og rB angi posisjonen etter tiden t+Δt.

Vi definerer gjennomsnittsfart som forflytning dividert med tid, også når bevegelsen ikke følger en rett linje.

I vårt tilfelle er forflytningen en vektor; Δr=rB-rA og tiden som forflytningen har tatt er t+Δt-t=Δt .

Gjennomsnittsfarten fra A til B defineres da som v¯=ΔrΔt, hvor streken over vektortegnet for v markerer at det er gjennomsnittsfarten.

Momentanfarten i punktet A defineres som grenseverdien gjennomsnittsfarten nærmer seg mot når Δt går mot null. Altså, den deriverte av r.

v=r'=limΔt0ΔrΔt

Når Δt går mot null, vil punktet B flytte seg langs kurven mot punktet A. Da vil Δr nærme seg og bli en tangent til kurven i punktet A. Farten (momentanfarten) i punktet A har retning som en tangent til banen som legemet følger.

Definisjonen av den deriverte og vektorer på koordinatform samt regneregler for vektorer på koordinatform gir følgende

v=r'=limΔx0ΔrΔt=limΔx0rB-rAΔt=limΔx0xt+Δt,yt+Δt-xt,ytΔt=limΔx0xt+Δt-xtΔt,yt+Δt-ytΔt=limΔx0xt+Δt-xtΔt,limΔx0yt+Δt-ytΔt=x't,y't

Vi kan gjøre tilsvarende resonnementer når det gjelder akselerasjon, og samlet får vi da følgende regler for fart og akselerasjon til legemer hvis bevegelse kan beskrives med en vektorfunksjon

 

La rt=xt,yt være posisjonsvektoren til et legeme som beveger seg langs en kurve.

 

Farten til legemet i et punkt er gitt ved vektoren vt=r'=x't,y't. Farten har retning som en tangent til kurven i punktet. Lengden til fartsvektoren kalles for banefarten.

 

Akselerasjonen til partikkelen i et punkt er gitt ved vektoren at=v't=r''t=x''t,y''t

 

Eksempel

Reiseruten til en båt.

La r=t+1,2t-2. Vi deriverer x - og y - koordinatene hver for seg, og får fartsvektoren

v=r'=1,2

Denne vektoren viser hvor fort x - og y - verdiene endrer seg når t endrer seg. Når t øker med én enhet, øker x med én enhet og y med to enheter.

Banefarten er lengden til fartsvektoren v=v=1,2=12+22=5

Vi fortsetter med å derivere fartsvektoren og finner akselerasjonsvektoren som viser hvor fort farten endrer seg for hver av x - og y - retningen.

Akselerasjonsvektoren blir a=v'=2,1'=0,0 , og akselerasjonen er lengden akselerasjonsvektoren a=a=0,0=0. Dette betyr at båtens fart er konstant.

 

Eksempel

Kastebanen til en gjenstand som skytes skrått opp i luften. Posisjonen til gjenstanden er gitt ved vektorfunksjonen

 r(t)=[2t50t-5t2] hvor t går fra 0 til 10 sekunder

Vi skriver inn parameterfremstillingen på skrivelinjen i GeoGebra ved kommandoen «Kurve[<Uttrykk>,<Uttrykk>,<Parametervariabel>,<Start>,<Slutt>]»

Kurve i geogebra. Foto  Da kan vi derivere posisjonsvektoren ved kommandoen «Derivert[<Funksjon>]», skrive
«Derivert[ r ]» og finne fartsvektoren. For akselerasjonsvektoren kan du bruke kommandoen «Derivert[<Funkjson>,<Tall> ]» hvor «Tall» settes til 2.

Kurve til kastebanen. Foto  

Vi ønsker å finne fart og akselerasjon etter 8 sekunder.

Vi skriver posisjonsvektoren, fartsvektoren og akselerasjonsvektoren etter 8 sekunder, henholdsvis r8, r'8 og r''8 på skrivelinjen.
GeoGebra viser da punktene A, B og C som er endepunktene til r8, r'8 og r''8 med start i origo.

Vi gir så posisjonsvektoren, fartsvektoren og akselerasjonsvektoren etter 8 sekunder navn og skriver inn henholdsvis p8=r8, v8=r'8 og a8=r''8.
GeoGebra viser da vektorene p8=r8, v8=r'8 og a8=r''8 som vektorer med start i origo.

For å plassere fartsvektoren og akselerasjonsvektoren i riktig posisjon etter 8 sekunder, bruker vi kommandoen «Vektor[<Startpunkt>,<Sluttpunkt> ]» og skriver henholdsvis
«v_8=Vektor[r(8), r(8)+r'(8)]» og «a_8=Vektor[r(8), r(8)+r''(8)]».
GeoGebra viser da vektorene fartsvektoren og akselerasjonsvektoren med start i punkt A.

«Tall a» viser farten etter 8 sekunder. Vi bruker kommandoen «Lengde[<Objekt>]» og skriver «Lengde[ r’(8) ]» Tall b viser tilsvarende akselerasjonen.

Etter 8 sekunder er farten 30,1 m/s og akselerasjonen er 10 m/s2. Fartsvektoren viser retningen til farten, tangent til kurven. Akselerasjonen er lik tyngdens akselerasjon uten horisontal komponent.