Fagstoff

Vektorfunksjoner med parameterframstilling beskriver kurver i planet

Publisert: 08.01.2013, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

   

Koordinatsystem med punkter og vektorer. Bilde. Gitt to punkter A og B. La P være et vilkårlig punkt på linjen gjennom A og B. Da vil det alltid finnes en t slik at

AP=t·AB

Posisjonsvektoren til punktet P kan da skrives som

OP=OA+APOP=OA+t·AB

Vektorfunksjonen OP beskriver linjen gjennom A og B.

Når t gjennomløper alle verdier, vil P gjennomløpe hele linjen.

La A ha koordinatene (1,4), og la B ha koordinatene (3,3).

Vektorfunksjonen for linjen gjennom A og B blir
OP=OA+t·AB=1,4+t3-1,3-4=1,4+t2,-1=1+t,4-t

Endepunktene til posisjonsvektorene vil beskrive linjen gjennom A og B.

På koordinatform får vi

x=1+2t       y=4-t

Vi kaller dette for en parameterfremstilling for linjen.

La rt=1+2t,4-t

Linjen gjennom A og B kan nå beskrives ved

• vektorfunksjonen rt=1+2t,4-t
  og
• parameterfremstillingen x=1+2ty=4-t

Hvordan fremstille kurven?

Ved papir og blyant

Tabell over x, y og t-verdier. Bilde. Vi lager en tabell som viser x- og y- koordinatene for utvalgte verdier av t.

x=1+2t         y=4-t

Vi kan så plotte punktene, x - og y- koordinatene, i et koordinatsystem, og trekke en kurve gjennom punktene. I dette tilfelle blir kurven en rett linje.

Digitalt

På skrivelinjen i GeoGebra kan du bruke kommandoen «Kurve[<Uttrykk>,<Uttrykk>,<Parametervariabel>,<Start>,<Slutt>]» og for eksempel skrive «Kurve[1+2t, 4-t, t, 0, 5]» for å få plottet grafen for t-verdier mellom 0 og 5.

I CAS kan du bruke kommandoen «r(t):=Vektor[<Punkt>]» og skrive «r(t):=Vektor[ (1+2t,4-t) ]»

Legg merke til skrivemåter og parentessetting i GeoGebra

Skjermbilde av geometrisk kurve i GeoGebra. Bilde.  

Generell kurve

Graf med retningsvektor. Bilde. I stedet for å kjenne to punkter på linjen, er det nok å kjenne ett punkt A=x0,y0 på linjen og en tilfeldig vektor [a,b] som er parallell med linjen. Vi kaller en slik vektor for en retningsvektor for linjen.

Vektorfunksjonen for linjen blir:

OP=OA+APrt=x0,y0+t·a,brt=x0+at,y0+bt

På parameterform form får vi x=x0+aty=y0+bt

 

En linje gjennom punktet A=x0,y0 med retningsvektor [a,b], kan beskrives ved

 

• vektorfunksjonen rt=x0+at,y0+bt
      og
• parameterfremstillingen x=x0+aty=y0+bt

 

Legg merke til hvor enkelt du kan veksle mellom parameterform og vektorfunksjon!!!

 

Nyttig å vite!!
Legg også merke til at linjene bestemt med parameterfremstillingene x=x1+aty=y1+bt og x=x2-bty=y2+at står normalt på hverandre fordi a,b-b,a siden a·-b+b·a=0.