Fagstoff

Drøfting av logaritmefunksjoner

Publisert: 07.01.2013, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Som eksempel skal vi drøfte funksjonen f gitt ved fx=lnx2-1.

Definisjonsmengde

Ifølge definisjonen til den naturlige logaritmen, a=elna , er den naturlige logaritmen til et tall, a, det tallet du må opphøye tallet e i for å få tallet a . Siden elna alltid er positivt, så må også a alltid være positivt. Det vil si at den naturlige logaritmen bare er definert for positive tall.

Vår funksjon f gitt ved fx=lnx2-1, er altså bare definert for x2-1>0.

Vi tegner fortegnslinjen for x2-1.

Fortegnslinje logaritmefunksjon  

Funksjonen er definert for x,-11,.

Nullpunkter

      fx=0lnx2-1=0     x2-1=1         x2=2         x=-2    x=2

Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter

Vi undersøker fortegnet til f'x.

Når vi skal derivere fx, må vi bruke kjerneregelen.

Finne den deriverte av en logaritmefunksjon  

Vi tegner så fortegnslinjen for f'x

Fortegnslinje derivert logaritmefunksjon  

Av fortegnslinjen til f'x kan vi lese at grafen synker i intervallet ,-1 og stiger i intervallet 1,. Vi får ikke topp- eller bunnpunkter. Derivert av en sammensatt funksjon, tenkeboble  

Krumningsforhold og vendepunkter

Vi undersøker fortegnet til f''x

f'x=2xx2-1

Når vi skal finne den andrederiverte, bruker vi regelen for den deriverte til en kvotient (brøk)

f''x=2·x2-1-2x·2xx2-12=-2x2-2x2-12=-2x2+1x2-1

Nevneren i denne brøken er alltid positiv i definisjonsområdet. Faktoren x2+1 i telleren er også alltid positiv. Det betyr at den dobbeltderiverte alltid er negativ og grafen vil derfor alltid vende sin hule side ned. Grafen har ikke noen vendepunkt.

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å lage en skisse av grafen for hånd. (Grafen er her laget i GeoGebra.)

Graf logaritmefunksjon