Fagstoff

Drøfting av rasjonale funksjoner

Publisert: 07.01.2013, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Som eksempel skal vi drøfte den rasjonale funksjonen f gitt ved fx=3xx-1.

Definisjonsmengde

Når x=1, blir nevneren null. Funksjonen er ikke definert for x=1. Df=\1.

Vertikal asymptote

Linjen x=a er en vertikal asymptote hvis nevneren blir null og telleren blir et tall forskjellig fra null for x=a.

For x=1 blir telleren lik 3·x=3·1=3, og nevneren blir x-1=1-1=0.

Det betyr at x=1 er en vertikal asymptote.

Horisontal asymptote

Linja y=a er en horisontal asymptote for en funksjon f dersom limx±fx=a.

limx±fx=limx±3xx-1=limx±3xxxx-1x=limx±3xxxx-1x=limx±31-1x=31-0=3

Det betyr at y=3 er horisontal asymptote.

Verdimengde

f kan ha alle funksjonsverdier unntatt 3. Verdimengden er derfor Vf=\3.

Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter

Vi undersøker fortegnet til f'x

f'x=3x'·x-1-3x·x-1'x-12=3·x-1-3x·1x-12=-3x-12

Nevneren x-12 er alltid positiv, og telleren er alltid negativ.

Det betyr at grafen alltid synker i sitt definisjonsområde, og grafen har derfor ikke topp- eller bunnpunkter.

Krumningsforhold og vendepunkter

Vi undersøker fortegnet til f''x

f''x=-3'·x-12--3x-12'x-14=3·2x-1x-14=6x-13

Nevneren x-13 er negativ for x,1 og positiv for x1,. Telleren er alltid positiv. Det gir følgende fortegnslinje for f''x

Fortegnslinje rasjonal funksjon  

Av fortegnslinja kan vi lese at grafen vender sin hule side ned for x,1 og sin hule side opp for x1,. Et eventuelt vendepunkt måtte vært for x=1, men for denne verdi er ikke funksjonen definert. Det vil si at grafen ikke har noen vendepunkter.

Skjæringspunkt mellom grafen og koordinataksene

Det kan også være nyttig å ta med eventuelle skjæringspunkt med koordinataksene i drøftingen.

Skjæring med y - aksen Graf rasjonal funksjon  

f0=3·00-1=0

Skjæring med x - aksen

  fx=03xx-1=0    3x=0      x=0

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å tegne en skisse av grafen for hånd. (Grafen er tegnet i GeoGebra.)