Fagstoff

Monotoniegenskaper og drøfting av polynomfunksjoner

Publisert: 04.01.2013, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Vi kan bruke den deriverte til å finne topp- og bunnpunkter på grafen til en funksjon og til å bestemme hvor grafen stiger og synker. Dette kan vi gjøre ved regning, uten å tegne grafen.

Monotoniegenskaper

Å finne ut hvor grafen til en funksjon stiger og hvor grafen synker, kalles for å drøfte funksjonens monotoniegenskaper.

Å drøfte en funksjon betyr gjerne at vi skal undersøke monotoniegenskapene og bestemme topp- og bunnpunkter på grafen. Vi kan også bli bedt om å bestemme nullpunkter, definisjonsmengde, krumming og vendepunkt (se avsnittet om krumningsforhold og vendepunkt).

Drøfting av polynomfunksjoner

Utfordring

Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved fx=13x3-12x2-2x+1.

Tegn deretter tangenter til grafen for noen x- verdier mellom −2 og 3.

Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og hvorvidt grafen stiger, synker eller har topp-/bunnpunkter.

Tangenter til tredjegradsfunksjon  

Du vil oppdage at

  • stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger
  • stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker
  • stigningstallet til tangenten er 0 i topp- og bunnpunkt

Tangentens stigningstall er lik den deriverte til funksjonen

 

Når grafen stiger, er den deriverte positiv.

Når grafen synker, er den deriverte negativ.

Når grafen har topp- eller bunnpunkt, er den deriverte lik 0.

Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av x grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av x den synker, og når den har topp- eller bunnpunkt ved å se på fortegnet til den deriverte. Vi viser dette gjennom noen eksempler.

Eksempel 1

Finn ved regning, når grafen til funksjonen f gitt ved fx=-x2+4x-3 stiger, og når den synker. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen.

Løsning

Vi deriverer fx

fx=-x2+4x-3f'x=-2x+4

Vi setter så f'x=0

   f'x=0-2x+4=0    -2x=-4        x=2

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige x - verdier i hvert av de aktuelle intervallene ,2 og 2, for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

f'0=-2·0+4=4>0f'3=-2·3+4=-2<0

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f'x

Fortegnslinje eksempel 1  

Vi ser av fortegnslinjen at fx vokser for x,2 og at fx minker når x2,.

Grafen til fx har derfor et toppunkt når x=2. Toppunktet er 2,f2=2,1 fordi f2=-22+4·2-3=1

Vi sier at funksjonen har maksimalpunkt x=2 og maksimalverdi f(2)=1.

Vi tegner grafen i GeoGebra, og ser at det vi har funnet ut ved regning er riktig

Derivasjon i GeoGebra. Foto 

Eksempel 2

Funksjonen f er gitt ved fx=13x3-12x2-2x+1

Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f.

Løsning

Vi deriverer fx

fx=13x3-12x2-2x+1f'x=13·3·x2-12·2·x1-2f'x=x2-x-2

Vi setter så f'x=0

    f'x=0x2-x-2=0         x=--1±-12-4·1·-22·1         x=1±92         x1=-1         x2=2

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene ,-1,-1,2og2, for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

f'-2=-22--2-2=4>0f'0=02-0-2=-2<0f'3=32-3-2=4>0

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f'x

Fortegnslinje eksempel 2  

Vi ser av fortegnslinjen at

  • grafen stiger for x,-12,
  • grafen synker for x-1,2

Grafen til fx har altså et toppunkt når x=-1 og et bunnpunkt når x=2.

f1=13-13-12-12-2-1+1=-13-12+2+1     =-26-36+126+66=136f2=1323-1222-22+1=83-42-4+1     =166-126-246+66=-146=-73

Toppunktet er -1,f-1=-1,136

Bunnpunktet er 2,f2=2,-73

Vi sier at funksjonen har maksimalpunkt eller maksimumspunkt x=-1

og maksimalverdi eller maksimumsverdi f(-1) =136

Vi sier at funksjonen har minimalpunkt x=2 og minimalverdi f(2)=-73

Vi tegner grafen i GeoGebra, og ser at det vi har funnet ut ved regning er riktig

Maksimalpunkt og minimalpunkt eksempel GeoGebra. foto  

Relatert innhold

Generelt