Fagstoff

Kontinuitet

Publisert: 17.12.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Kontinuitet Fra en båt loddes dybden ned til havbunnen mens den beveger seg inn mot land. Dybden avtar jevnt, bortsett fra når båten passerer et fjellutspring som gjør at dybden endrer seg brått. Se figur.

Vi tenker oss dybden som funksjon av den strekningen båten tilbakelegger. Grafen til denne funksjonen ville da kunne se ut som vist på figuren. Grafen er ikke sammenhengende. Funksjonsverdiene gjør et plutselig hopp for en spesiell verdi av x. Men til hver x - verdi måles en bestemt dybde.

Vi sier at dybdefunksjonen ikke er kontinuerlig.

En funksjon f er kontinuerlig for x=a hvis og bare hvis

limxa fx=fa

 

En funksjon som ikke er kontinuerlig i et punkt er diskontinuerlig i punktet.

 

Funksjonen f er kontinuerlig i et intervall dersom f er kontinuerlig i alle punkt i intervallet.

 

En funksjon er kontinuerlig hvis den er kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde.

 

En funksjon kan ha to ulike grenseverdier når x nærmer seg en verdi a, avhengig av om nærmer seg a fra høyre eller fra venstre.

Vi får derfor at

En funksjon f er kontinuerlig for x=a hvis og bare hvis

limxa-fx=limxa+fx=fa

 

limxa-fx betyr grenseverdien for fx når x går mot a fra venstre.

 

limxa+fx betyr grenseverdien for fx når x går mot a fra høyre.

Funksjonene f, g og h er gitt ved Kontinuitet funksjoner  

fx=13x3-x+2gx=x2-4x-2hx=x2-2x-2

 

 

 

 

 

Fra teorien om grenseverdier har vi setningen

Grenseverdien til en polynomfunksjon fx, når x går mot en bestemt verdi a, kan vi finne ved å regne ut fa

Det betyr at f er kontinuerlig i sitt definisjonsområde. Funksjonen er kontinuerlig. Funksjonen er også definert for alle reelle tall slik at grafen til f er en sammenhengende kurve.

Funksjonene g og h er ikke definert for x=2 fordi nevnerne blir 0 for x=2. g har en grenseverdi for x=2 , mens grafen til h har asymptoten x=2. På figuren markerer
Diskontinuitet   at funksjonen g ikke er definert for x=2 .

Vi kan finne grenseverdiene til funksjonene g og h når x går mot en bestemt verdi a, forskjellig fra 2, ved å regne ut fa.

Det betyr at funksjonene g og h er kontinuerlige i sine definisjonsområder, og er derfor kontinuerlige funksjoner.