Fagstoff

Rasjonale funksjoner og vertikal asymptote

Publisert: 14.12.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.

 

Polynomene kan ha grad null, derfor er for eksempel også funksjonen 1x en rasjonal funksjon.

 

Vertikal asymptote

Vi undersøker funksjonen f gitt ved fx=x-2x+2

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Vi undersøker om fx har noen grenseverdi når x nærmer seg −2.

-2-2=-4-2+2=0

Det betyr at limx-2x-2x+2 ikke eksisterer.

Når x nærmer seg verdien −2 fra venstre, vokser funksjonsverdiene over alle grenser.

Vi skriver

fx når x-2- eller limx-2-fx=

(Legg merke til hvordan vi markerer at nærmer seg -2 fra venstre.)

Når x nærmer seg verdien −2 fra høyre, avtar funksjonsverdiene uten grenser.

Vi skriver fx- når x-2+ eller limx-2+fx=-

Vertikal asymptote  

 

Hvis en funksjon fx eller - når xa fra den ene eller andre siden, så er linjen x=a en verrikal asymptote for grafen til f.

 

Når x nærmer seg a, så vil grafen nærme seg linjen x=a.

Dette betyr at linjen x=-2 er en vertikal asymptote for grafen til fx.

Ut fra ovenstående kan vi si at x=a er en vertikal asymptote for en rasjonal funksjon fx hvis nevneren blir null og telleren blir et tall forskjellig fra null for x=a.

Eksempel

fx=3x2x2-x

Vi finner når nevneren er lik null.

  x2-x=0xx-1=0       x=0    x-1=0       x=0    x=1

Det er her to mulige vertikale asymptoter, x=0 og x=1.

Vi undersøker først om x=1 er en vertikal asymptote.

3·12=3

Telleren er et tall forskjellig fra null og nevneren er null for x=1, så x=1 er en vertikal asymptote.

Vi undersøker så om x=0 er en vertikal asymptote.

3·02=0

Både teller og nevner er null for x=0.

Funksjonen kan da ha en grenseverdi når x nærmer seg null.

Grenseverdien finner vi slik

limx0 fx=limx0 3x2x2-x=limx0 3·x·xx·x-1=limx0 3·xx-1=3·00-1=0

Grenseverdien eksisterer og vi får ingen asymptote for x=0.