Fagstoff

Grenseverdi for en brøk når x går mot pluss uendelig eller minus uendelig

Publisert: 06.12.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Vi er ofte også interessert i å finne ut hvordan det går med funksjoner når den variable vokser eller avtar uten grenser. Det vil si at den variable går mot pluss uendelig eller minus uendelig. For noen funksjoner vil funksjonsverdiene også da nærme seg en bestemt grenseverdi.

 

Vi sier at f(x) nærmer seg A som grenseverdi når x blir uendelig stor, hvis det er slik at vi kan på avstanden mellom f(x) og A så liten vi bare måtte ønske, hvis vi velger x stor nok.

 

Vi skriver

limxfx=A

 

Tilsvarende når den variable blir uendelig liten, går mot minus uendelig.

 

 

For rasjonale funksjoner vil dette ofte være tilfelle.

I det rasjonale uttrykket 6x22x2+4 vil tallet 4 i nevneren få svært liten betydning når absoluttverdien til x blir veldig stor. Brøken vil da oppføre seg som brøken 6x22x2 som igjen er lik 62=3. Dette indikerer at 6x22x2+4 har tallet 3 som grenseverdi når x enten blir uendelig stor eller uendelig liten.

En annen måte å begrunne dette på er å dividere teller og nevner med den høyeste potens av x som forekommer i uttrykket. I dette tilfellet er det x2 . Vi får at

Grenseverdi forkorting   

Når x vokser over alle grenser, vil 4x2 gå mot null. Da vil brøken 6x22x2+4 nærme seg 62=3. Det samme resonnementet gjelder om x går mot minus uendelig. Vi har derfor at

 limx±6x22x2+4=3

Denne skrivemåten betyr at grenseverdien er lik 3 både når x går mot pluss uendelig og mot minus uendelig.

Vi kan føre regningen på følgende måte

Grenseverdi  

Vi sier at den horisontale linjen y=3 er en horisontal asymptote til grafen til uttrykket når x går mot  eller -.

Asymptote  

Ved CAS i GeoGebra

Grenseverdi for en brøk når x går mot pluss uendelig eller minus uendelig i GeoGebra. Foto  

Relatert innhold