Fagstoff

Grenseverdier for ulike funksjoner

Publisert: 06.12.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Grenseverdier til polynomfunksjoner

En regel sier at grenseverdien til en polynomfunksjon f(x) , når x går mot en bestemt verdi a, kan vi finne ved å regne ut f(a)

 

limxa fx=fa når f er en polynomfunksjon

 

Eksempel

limx4 x2-3x+3=42-3·4+3=7

Ved CAS i GeoGebra

Polynomdivisjon i geogebra. Foto  

Grenseverdien til en rasjonal funksjon

Rasjonale funksjoner består av polynomfunksjoner i teller og nevner. Vi kan også her finne grenseverdier ved innsetting. Forutsetningen er at vi ikke får null i nevner.

Vi skiller mellom tre ulike situasjoner.Tallet 1  

1. Grenseverdi for en brøk der nevneren ikke går mot null 

Eksempel

Vi ser på brøkene x+5x-1 og x-3x-1 når x går mot 3. Her kan vi finne grenseverdiene direkte ved å sette inn 3 i stedet for x og regne ut

limx3 x+5x-1=3+53-1=82=4limx3 x-3x-1=3-33-1=02=0

Tallet 2 2. Grenseverdi for en brøk der nevneren går mot null, men telleren ikke går mot null

Vi ser på brøken 2x-1x2-4. Hva skjer med brøken når x går mot 2?

Eksempel 2  

Når x går mot 2, vil telleren gå mot 3, mens nevneren blir mindre og mindre. Det betyr at verdien til brøken blir større og større. Utregningene ovenfor viser dette. Det viser seg at det ikke eksisterer noen grenseverdi. Brøkens verdi vokser over alle grenser.

Det betyr at limx2 2x-1x2-4 ikke eksisterer.

 

En brøk har ingen grenseverdi for x = a hvis vi, når vi setter inn tallet a, får null i nevner og et tall forskjellig fra null i teller. Da vil brøkens verdi gå mot enten pluss eller minus uendelig når x nærmer seg a.

 

Eksempel

limx2 x2-6x-222-6=-22-2=0limx2 x2-6x-2 eksisterer ikkeTenkeboble, Legg merke til  

Ved CAS i GeoGebra

Grenseverdi for en brøk slik det ser ut i GeoGebra. Foto

Tallet 3. Foto

Grenseverdi for en brøk slik det ser ut i GeoGebra. Foto  

3. Grenseverdi for en brøk der både teller og nevner
går mot null

En regel sier at hvis to funksjoner f og g er like for alle verdier i nærheten av a, men ikke nødvendigvis for x = a, så er limxa fx=limxa gx

 

Vi ser på brøken x2-162x-8. Når x = 4, får vi null i både teller og nevner.

Dette betyr at vi kan faktorisere og forkorte, og vi får

limx4 x2-162x-8=limx4 x-4x+42x-4=limx4 x+42=4+42=4

Her er fx=x2-162x-8 og gx=x+42

Ved CAS i GeoGebra

Grenseverdi for en brøk der både teller og nevner går mot null i GeoGebra. Foto  

Eksempel

Tenkeboble, Legg merke til  limx2 x2+x-6x-222+2-6=02-2=0

limx2 x2-162x-8=limx2 x-2x+3x-2=limx2 x+3=2+3=5

Ved CAS i GeoGebra

CAS i GeoGebra. Foto  

Eksempel

limx4 6x-23x-1264-2=03·4-12=0limx4 6x-23x-12=limx4 6x-23(x-4)=limx4 62x-23(x+2)x-2=limx4 2x+2=24+2=24=12


Ved CAS i GeoGebra

Grenseverdi i GeoGebra. Foto