Fagstoff

Grenseverdier

Publisert: 06.12.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Gitt funksjonen

fx=x2-4x-2

Funksjonen er ikke definert for x = 2, for da blir nevneren lik null. Det er likevel aktuelt å spørre seg hva som skjer med verdiene til funksjonen når x - verdiene nærmer seg 2.

Vi bruker regneark og regner ut noen funksjonsverdier for x nær 2.

x1,99000001,99990001,999999922,0000102,00010002,0100000
f(x)3,99000003,9990003,999999Ikke definert4,0000104,00010004,0100000

 

Grenseverdi. Illustrasjon. Ut fra tabellen kan det synes som om jo nærmere x - verdiene kommer tallet 2, jo nærmere kommer funksjonsverdiene tallet 4. Eller sagt på en annen måte. Det kan synes som om f(x) har 4 som grenseverdi når x nærmer seg 2.

I så tilfelle skriver vi dette som

limx2 fx=4 eller fx4 når x2

Lim er forkortelse for det latinske ordet «limes» som betyr grense.

Grenseverdibegrepet er meget sentralt i matematikken, og matematikere strevde lenge med å lage en presis definisjon.

Litt upresist kan vi si:

 

Hvis vi kan få f(x) så nærme A vi måtte ønske, bare vi velger x tilstrekkelig nærme a, så har f(x) A som grenseverdi når x nærmer seg a. Vi skriver

 

limxa fx=A eller fxA når xa

 

Vi leser «Grenseverdien for f(x) når x går mot a (liten a) er lik A (stor A)» eller «f(x) går mot A når x går mot a».

 

Vi forutsetter at x er med i definisjonsmengden til f, men det er ikke nødvendig at a er med i definisjonsmengden.

Definisjonen sier at A er grenseverdi hvis vi kan få forskjellen mellom f(x) og A så liten vi bare måtte ønske, forutsatt at vi velger x tilstrekkelig nærme a, men ikke lik a.

Metoden vi ovenfor brukte, med å regne ut noen funksjonsverdier, er på ingen måte en pålitelig metode for å finne grenseverdier.

Matematikere har kommet fram til en presis definisjon av grenseverdi som gjør det mulig å lage regneregler og dermed regne ut grenseverdier. Denne definisjonen ligger egentlig utenfor dette kurset, men vi tar den med for spesielt interesserte. Denne definisjonen omtales ofte som epsilon-delta-definisjonen, siden vi bruker de greske bokstavene ε (epsilon) og δ (delta) i definisjonen.

 

Grenseverdi. Illustrasjon.  Vi sier at funksjonen f(x) har tallet A som grenseverdi når x nærmer seg verdien a, hvis det til ethvert tall ε > 0 finnes et tall δ > 0 slik at

 

fx-A<ε når x-a<δ og x-a>0

 

Bare vi velger x nærme nok a, så havner altså f(x) så nærme A vi måtte ønske.

 

 

Med utgangspunkt i denne definisjonen kan det bevises et sett med regneregler som vi kan bruke for å regne ut grenseverdier.

For eksempel kan det vises at hvis limxa fxog limxa gx eksisterer, så er

limxa fx+gx=limxa fx+limxa gxlimxa fx·gx=limxa fx·limxa gxlimxa fxgx=limxa fxlimxa gx forutsatt at limxa gx0