Fagstoff

Bayes’ setning

Publisert: 28.11.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Vi har nå sett to eksempler på at både A og B betyr det samme som både B og A.

Siden altså AB=BA, så er

P(AB)=P(BA)

Implikasjonspil ned  PA·PB|A=PB·PA|B

Implikasjonspil ned  PB|A=PB·PA|BPA

I eksemplet ovenfor får vi at

PB|A=PB·PA|BPA=26·1236=16·636·6=13

Det stemmer med det vi fant ved å bruke regelen om «gunstige over mulige»

Bayes’ lov eller Bayes’ setning

 

PAB=PA·PBAPB

 
Bayes’ setning handler om to hendelser. Når du kjenner sannsynlighetene for de to hendelsene og betinget sannsynlighet for den ene hendelsen, kan du ved Bayes’ setning regne ut betinget sannsynlighet for den andre hendelsen.

Eksempel

Personer med normalt fargesyn skal i dette bildet se tallet 6. Personer som er fargeblinde for røde og grønne nyanser, ser ikke Personer med normalt fargesyn skal i dette bildet se tallet 6. Personer som er fargeblinde for røde og grønne nyanser, ser ikke noe tall. På en skole går det 840 elever, 360 jenter og 480 gutter. Det viser seg at 5 av jentene er fargeblinde og 34 av guttene er fargeblinde.

Vi trekker tilfeldig en elev ved skolen og det viser seg at denne eleven er fargeblind.

Hva er sannsynligheten for at denne eleven i tillegg er en jente?

Det vil si: Hva er PJ|F?

Vi har å gjøre med to hendelser

J: Eleven er en jente
F: Eleven er fargeblind

Vi kjenner sannsynligheten for jente, sannsynligheten for fargeblind og betinget sannsynlighet for fargeblind gitt jente

PJ=360840, PF=34+5840=39840 og PF|J=5360

Da kan vi bruke Bayes’ setning til å finne sannsynligheten for jente gitt fargeblind

PJ|F=PJ·PF|JPF=360840·536039840=360840·536039840=539

Vi kan også sette opplysningene i oppgaven inn i en krysstabell.

 

Jenter

Gutter

Sum

Fargeblinde

5

34

39

Normalt fargesyn

355

446

801

Sum

360

480

840


Da kan vi bruke «gunstige over mulige» og lese direkte fra tabellen at vi har regnet riktig

PJ|F=539

I Norge foretas det av og til masseundersøkelser av hele eller deler av befolkningen for å finne ut hvem som lider av bestemte sykdommer. Det kan være undersøkelser for å avdekke tuberkulose, brystkreft hos kvinner, andre former for kreft osv. Dette er positivt med tanke på å oppdage sykdommer på et tidlig stadium og derved øke sjansene for helbredelse. Problemet er at testene for sykdommene ofte slår ut på mennesker som er friske.

Eksempel

La oss anta at 5 % av befolkningen lider av en sykdom. Vi benytter en test som slår ut for 96 % av dem som virkelig er syke, men den slår også ut for 10 % av dem som er friske.

Hvis vi for eksempel lar 1 000 personer ta testen, så vil statistisk sett 50 av disse være syke, mens 950 er friske.

Testen vil statistisk sett gi utslag for 50 · 0,96 = 48 av de personene som er syke, og for
950 · 0,10 = 95 av de personene som er friske.

Testen gir utslag for 143 personer. Bare 48 av disse er syke. Det er altså omtrent dobbelt så mange friske som syke blant de som får utslag. Disse blir utsatt for unødig belastning. Dette er grunnen til at slike tester er omstridte.

Bayes’ setning er velegnet til å regne sannsynligheter i slike tilfeller.

Vi definerer de to hendelsene

S: En person er syk
U: Testen gir positivt utslag

Vi kjenner sannsynlighetene

PS=0,05, PU|S=0,96, PU|S¯=0,10 og PS¯=1-PS=1-0,05=0,95

Vi trenger også å vite sannsynligheten for om testen slår ut på en tilfeldig person. Da kombinerer vi addisjonssetningen fra 1T med produktsetningen. (Det er også lurt å sette opp et valgtre)

PU=PSU+PS¯UPU=PS·PU|S+PS¯·PU|S¯PU=0,05·0,96+0,95·0,10PU=0,143

Da kan vi ved Bayes’ setning finne sannsynligheten for om en person som får positivt utslag på testen, virkelig er syk.

PS|U=PS·PU|SPU=0,05·0,960,143=0,336

Det er altså bare 33,6 % sjanse for at en person er syk selv om testen viser utslag for sykdommen!!!