Fagstoff

Parameterfremstilling for kuleflate

Publisert: 06.11.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Parameterfremstilling for ei kuleflate 

Bilde av kuleflate Gitt en kule med radius r plassert med sentrum i origo.

Vi lar P(x,y,z) være et vilkårlig punkt på kuleflaten.

Vi beskriver punktet P ved hjelp av to parametere.

Den første parameteren kaller vi for t, og vi lar den være en erstatning for x - koordinaten.

Parameteren vil løpe fra - til r.

For hver verdi av t får vi en mengde punkter på kuleflaten som ligger på en sirkel i et plan som er parallelt med yz -planet.

Vi kaller radius i denne sirkelen for a .

Bilde av kuleoverflate

Vi innfører nå parameteren α og lar denne løpe fra 0o til 360o eller fra 0 til 2π. 

Da vil P gjennomløpe den blå sirkelen på figuren.

Når t løper fra - r til r, og når α løper fra 0° til 360° for hver verdi av t, oppnår vi at P gjennomløper alle punkter på kuleflaten.

Ut fra figuren kan vi finne koordinatene til P uttrykt med a og parameterne t og α .

x=ty=acosαz=asinα

Kanskje du trenger litt trigonometrisk repetisjon for å se dette?

     cosα=hosliggende katethypotenus             sinα=motstående katethypotenus     cosα=hosliggende kateta             sinα=motstående katetahosliggende katet=acosα          motstående katet=asinα

 I tillegg ser vi at vi kan bruke Pytagoras’ setning.

Bilde av kuleflate  r2=a2+t2a2=r2-t2a=r2-t2

Vi får da

x=ty=acosα=r2-t2cosαz=asinα=r2-t2sinα

Vektorfunksjonen blir

OP=t,r2-t2cosα,r2-t2sinα

Parameterfremstillingen blir

x=t      y=r2-t2cosα      z=r2-t2sinαBilde av kuleoverflate

Eksempel

En kuleflate med radius lik 5 cm og sentrum i origo har vektorfunksjonen

OP=t,52-t2cosα,52-t2sinα

Vi kan flytte sentrum i kula til punktet (0,0,20) ved å endre vektorfunksjonen til

OP=t,52-t2cosα,20+52-t2sinα

 

Kommando i GeoGebra: «Kule[<Punkt>, <Radius>]»

 

 

Oppsummering

 

Generelt er en kuleflate med radius r og sentrum i x0,y0,z0 gitt ved vektorfunksjonen

OP=x0+t,y0+r2-t2cosα,z0+r2-t2sinα

 

En parameterfremstilling for kuleflaten er

 

x=x0+ty=y0+r2-t2 cosαz=z0+r2-t2 sinα

 

Bilde av kulerSingapore River, 1. juledag 2010. 
Hvert år kastes ca. 20 000 små og store kuler med jule- og nyttårsønsker ut i elva.

Oppgaver

Generelt