Fagstoff

Formel for avstand fra punkt til plan

Publisert: 06.11.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Formel for avstand mellom punkt og plan i rommet 

Bilde av plan i rom Vi har også en formel for avstanden fra et punkt til et plan. La Px1,y1,z1 være et punkt i rommet.
La α være et plan i rommet gitt ved ax+by+cz+d=0.

Da er avstanden fra P til α gitt ved

q=ax1+by1+cz1+da2+b2+c2

Bevis

La S(x,y,z) være det punktet i planet som er slik at SP står normalt på planet. Da er avstanden fra punktet til planet q=SP.

Siden S(x,y,z) ligger i planet, har vi at

ax+by+cz+d=0                 d=-ax+by+cz

Vi har også at n=[a,b,c] er normalvektor til planet.

Vi kan finne skalarproduktet av n og SP på to måter. Vi kan bruke definisjonen på skalarproduktet, eller vi kan regne med vektorkoordinater.

Hvis vi bruker definisjonen på skalarprodukt, får vi

SP·n=SP·n·cos0° eller 180°

Hvis vi regner med vektorkoordinater, får vi

                             SP·n=x1-x,y1-y,z1-z·a,b,c  SP·n·cos0° eller 180°=x1-x,y1-y,z1-z·a,b,c           SP·n·1 eller -1=a·x1-x+b·y1-y+z·z1-zq·a2+b2+c2·1 eller -1=ax1+by1+cz1-ax+by+cz                                   q=ax1+by1+cz1+da2+b2+c2

Eksempel - Formel for avstand mellom punkt og plan 

Eksempel

Vi bruker formelen og regner ut avstanden fra punktet A2,-8,7 til planet β gitt ved
 2x+3y-z-1=0.

q=ax1+by1+cz1+da2+b2+c2q=2·2+3·-8+-1·7+-122+32+-12q=4-24-7-14+9+1q=-2814q=-28·1414·14q=-28·1414=214