Fagstoff

Ulikheter med logaritmeuttrykk

Publisert: 22.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Da vi løste likninger med logaritmer, utnyttet vi at to tierpotenser med like eksponenter er like.

Eksempel

  lg x=210lg x=102  To tierpotenser med like eksponenter er like.     x=100

Vi vet at funksjonen f gitt ved fx=10x vokser i hele definisjonsområdet. Det vil si at hvis a>b, så er 10a>10b, og tilsvarende hvis a<b, så er 10a<10b. Dette får vi bruk for når vi skal løse ulikheter med logaritmeuttrykk.

Eksempel 1

  lg x<2                   x  være større enn 0.10lg x<102                 a<b10a<10b     x<100                Vi bruker definisjonen  logaritme og                             forenkler venstre side.Løsning x0,100

Eksempel 2

lg x2+2lg x-2>0             x  være større enn 0.    2lg x+2lg x>2            Vi bruker tredje logaritmesetning.             2lg x>2              lg x>12             10lg x>1012        a>b10a>10b                  x>10       Vi bruker definisjonen  logaritme                                   og forenkler venstre side.Løsning x10,

Eksempel 3

lgx+2-lg2<2          x  være større enn -2.      lgx+22<2          Vi bruker andre logaritmesetning baklengs.      10lgx+22<102        a<b10a<10b           x+22<100       Vi bruker definisjonen  logaritme og forenkler                                venstre side.              x+2<200                  x<198Løsning x-2,198

Eksempel 4

lg x+lg5-xlg 6     x  være større enn 0 og mindre enn 5.  lgx·5-xlg 6     Vi bruker første logaritmesetning baklengs. 10 lgx·5-x10lg 6    ab10a10b      x·5-x6         Vi bruker definisjonen  logaritme og                              forenkler venstre side.  -x2+5x-60

Setter -x2+5x-6=0 x=-5±25-24-2 x1=2   x2=3

Tenkeboble, legg merke til  Ulikheten blir da slik:

-x-2x-30

Et fortegnsskjema gir oversikten

Fortegnsskjema, logaritmeuttrykk  

Løsning x2,3

Ulikheter kan også løses grafisk

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved fx=lg x+lg5-x (utrykket på venstre side i ulikheten ovenfor). I tillegg har vi tegnet den vannrette linja y=lg 6 (høyre side i ulikheten).

Graf, logaritme 1  

Vi ser også grafisk at lg x+lg5-xlg 6 for x2,3 .

Ved CAS i GeoGebra

Ulikheter med logaritmeuttrykk i GeoGebra. Utklipp  

Eksempel 5

Vi ønsker å løse andregradsulikheten lg x2+2lg x-3<0     x>0

Først løser vi likningen lg x2+2lg x-3=0. Vi bruker igjen metoden med variabelskifte ved å sette u=lg x.

u=-2±22-4·1·-32·1u=-2±42lg x=1         lg x=-3             Siden u=lg x   x=101         x=10-3   x=10          x=0,001

Grafen til funksjonen f gitt ved fx=lg x2+2lg x-3 er sammenhengende, derfor er det bare i nullpunktene at uttrykket lg x2+2lg x-3 kan skifte fortegn.

Vi tar «stikkprøver» i intervallene 0, 0,001, 0,001, 10 og 10,, og lager fortegnsskjema.

For x=0,0001 får vi

lg 0,00012+2lg 0,0001-3=-42+2·-4-3=16-8-3=5 

Uttrykket er positivt.

For x=1 får vi

lg 12+2lg 1-3=02+2·0-3=-3 Uttrykket er negativt.

For x=100 får vi

lg 1002+2lg 100-3=32+2·2-3=5 Uttrykket er positivt.

I et fortegnsskjema kan vi illustrere dette slik

Fortegnsskjema, logaritmeuttrykk 2  

Løsning lg x2+2lg x-3<0 når x0,001, 10

Nedenfor har vi tegnet grafen til uttrykket lg x2+2lg x-3 . Det er vanskelig å finne begge nullpunktene i samme bildet. Vi har derfor først tegnet grafen og funnet det ene nullpunktet 10,0, så har vi tegnet et forstørret bilde av grafen i et lite område for å finne det andre nullpunktet 0,001, 0.

Graf, logaritme 2  Graf, logaritme 3  Viser av grafene at løsningen stemmer

Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning.

Ulikheter med logaritmeuttrykk i Geogebra. Utklipp