Fagstoff

Plan gitt ved normalvektor og punkt i planet

Publisert: 06.11.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut
Plan gitt ved punkt og normalvektor - Eksempel  

 

Bilde av plan i ett rom  

La α være et plan i rommet. La videre Qx0,y0,z0 være et fast punkt i planet og n=a,b,c en normalvektor til planet, det vil si en vektor som står normalt på planet.

For et tilfeldig punkt, Px,y,z som ligger i planet, gjelder

                                  QP·n=0     x-x0,y-y0,z-z0·a,b,c=0a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0=0

Vi har fått en likning som beskriver planet α. Alle punkter x,y,z  som tilfredsstiller likningen, ligger i planet.Bilde av en tenkeboble

Vi kan erstatte de konstante leddene i likningen med en konstant, og vi får likningen for planet gitt på den mest vanlige formen

   a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0=0       ax-ax0+by-by0+cz-cz0=0    ax+by+cz-ax0+by0+cz0=0                       ax+by+cz+d=0

 

Likningen for et plan

 

a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0=0

 

er likningen for et plan som går gjennom punktet Qx0,y0,z0

og har normalvektor n=a,b,c.

 

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi en likning gitt på formen

 

ax+by+cz+d=0

 

der d=-ax0+by0+cz0

Eksempel

Bilde av et plan i rom La n2,3,4 være en normalvektor til 
planet β. Punktet Q1,2,3 ligger i planet. 
La Px,y,z være et vilkårlig punkt i planet.

Vi har da

                        QP·n=0x-1,y-2,z-3·2,3,4=0

2x-1+3y-2+4z-3=0      2x-2+3y-6+4z-12=0              2x+3y+4z-20=0

som er likningen for planet.

Dette kunne vi også funnet ved å sette direkte inn i likningen for et plan

a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0=0       2x-1+3y-2+4z-3=0             2x-2+3y-6+4z-12=0                     2x+3y+4z-20=0

 

Oppgaver

Generelt

Relatert innhold